Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 1ο Διαγώνισμα στο 1ο Κεφάλαιο από το Study4exams

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ

[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]

 ΘΕΜΑ Α 

Α1. Έστω η συνάρτηση $f: A \rightarrow R$. Πότε η f λέγεται ένα προς ένα $(1 – 1)$;

Α2. Έστω συνάρτηση $f: A \rightarrow R$. Πότε θα λέμε ότι η $f$ παρουσιάζει στο $x_0 \in A$:

α. (ολικό) μέγιστο; 

β. (ολικό) ελάχιστο;

A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό

ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ έχει ολικά ακρότατα.

β. Για οποιασδήποτε συναρτήσεις $f , g : A \rightarrow R$ που είναι ίσες, τότε η συνάρτηση

 $h(x) =(\dfrac{f}{g})(x)$ 

ισούται με $1$, για κάθε $x\in  A$.

γ. Αν η εξίσωση $f (x)= λ, λ\in R$ έχει τουλάχιστον δύο ρίζες, τότε η $f$ είναι γνησίως μονότονη.

δ. Αν η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα $Δ_1$ και $Δ_2$, τότε σε κάθε περίπτωση θα είναι γνησίως φθίνουσα και στο $Δ_1 \cup Δ_2$.

ε. Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$, τότε ορίζεται πάντα η συνάρτηση γνησίως φθίνουσα.

$-f$ και είναι γνησίως φθίνουσα.

Α4. Αν η συνάρτηση $f: A \rightarrow R$ είναι $1 – 1$, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f (x)=0$ έχει το πολύ μια λύση.

 ΘΕΜΑ B 

Δίνεται η συνάρτηση $f: [0,1] \rightarrow R$. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

Β1. $h_1(x)=f(x^2)$

Β2. $h_2(x)=f(lnx)$

Β3. $h_3(x)=f(\dfrac{x-1}{x+1})$

Β4. $h_4(x)=(h_2-h_3)(x)h_1(x)$, 

όπου $h_1, h_2, h_3$ οι συναρτήσεις των προηγούμενων ερωτημάτων και στη συνέχεια να υπολογίσετε τον τύπο της $h_4$.

 ΘΕΜΑ Γ 

Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$ όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $fg$.

Γ2. Να βρείτε τις τιμές

$(f\circ g)(0)$, $(f-g)(1)$, $(fg)(2)$, $(\dfrac{f}{g})(3)$

Γ3. Να λύσετε την εξίσωση f (x) = g(x) και στη συνέχεια την ανίσωση

$(\dfrac{f}{g})(x) \leq 1$

Γ4. Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων $f, g$ και τις θέσεις που παρουσιάζουν ολικά ακρότατα.

 ΘΕΜΑ Δ 

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x) =\begin{cases}x^2+2 & -1 \leq x<0 \\x^3+2 & 0 \leq x \leq 1\end{cases}$ 

Δ1. Να αποδείξετε ότι η $f $ είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα $[-1,0)$ και $[0,1]$.

Δ2. Να εξετάσετε αν η $f$ είναι $1 – 1$.

Δ3. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η $f$ παρουσιάζει ολικό ακρότατο.

Δ4. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $-f$  και στη συνέχεια να βρείτε αλγεβρικά το σύνολο τιμών της $f$ και να το επαληθεύσετε μέσω της $C_f$.

Δ5. Να εξετάσετε αν ορίζεται η συνάρτηση $f\circ f$. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Το διαγώνισμα επιμελήθηκε ο Χατζόπουλος Μάκης, Μαθηματικός του ΓΕΛ Φιλοθέης.

Πηγή: study4exams