International Mathematical Olympiad 2023 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους σύνθετους θετικούς ακεραίους με την εξής ιδιότητα: Αν είναι όλοι οι θετικοί του διαιρέτες, τότε ο διαιρεί τον για κάθε

Πρόβλημα 2

Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο με . Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του . Έστω το μέσο του τόξου του που περιέχει το . Η κάθετη από προς τη τέμνει την στο και τέμνει τον ξανά στο . Η ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στη τέμνει την ευθεία στο . Συμβολίζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου με . Έστω ότι ο τέμνει ξανά το στο . Αποδείξτε ότι η ευθεία που εφάπτεται στον στο τέμνει την ευθεία στην εσωτερική διχοτόμο γωνίας της γωνίας .

Πρόβλημα 3

Για κάθε ακέραιο να προσδιορίσετε όλες τις άπειρες ακολουθίες θετικών ακεραίων για τις οποίες υπάρχει πολυώνυμο της μορφής , όπου είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, έτσι ώστε: για κάθε ακέραιο .

Πρόβλημα 4

Έστω διαφορετικοί ανά δύο θετικοί πραγματικοί ώστε ο να είναι ακέραιος για κάθε Να δείξετε ότι

Πρόβλημα 5

Έστω ένας θετικός ακέραιος. Ένα ιαπωνικό τρίγωνο αποτελείται από κύκλους σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου ώστε για κάθε ώστε η οστή σειρά να περιέχει κύκλους εκ των οποίων μόνο ένας είναι βαμμένος κόκκινος. Ένα μονοπάτι ninja σε ένα ιαπωνικό τρίγωνο είναι μια ακολουθία από κύκλους που προκύπτει ξεκινώντας από την επάνω σειρά, μετά πηγαίνοντας επανειλημμένα από έναν κύκλο σε έναν από τους δύο κύκλους ακριβώς κάτω από αυτόν και τελειώνοντας στην κάτω σειρά. Να βρείτε συναρτήσει του τον μέγιστο ώστε σε κάθε ιαπωνικό τρίγωνο να υπάρχει ένα ninja path που περιέχει τουλάχιστον κόκκινους κύκλους.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα ενός ninja path σε ένα ιαπωνικό τρίγωνο για .

Πρόβλημα 6

Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω σημεία στο εσωτερικό του ώστε , , , and

Έστω ότι οι και τέμνονται στο οι and τέμνονται στο και and τέμνονται στο

Να δείξετε ότι αν το τρίγωνο είναι σκαληνό, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων  and διέρχονται από 2 κοινά σημεία.

Πηγή: mathematica

Δείτε εδώ τα θέματα σε pdf.