Θεώρημα Μέσης Τιμής του Cauchy

Θεώρημα

Εστω $f,g:[a,b]\to R$, συνεχείς στο $[a,b]$ και παραγωγίσιμες στο $(a,b)$. Τότε, υπάρχει $x_0\in (a,b)$ ώστε

$[f(b)-f(a)]g^{\prime }(x_0)=[g(b)-g(a)]f^{\prime }(x_0)$     (1).

Απόδειξη

Θεωρούμε τη συνάρτηση $h:[a,b]\to R$ με 

$h(x)=[f(x)-f(a)](g(b)-g(a))-$ 

$-[f(b)-f(a)](g(x)-g(a))$. 

Η h είναι συνεχής στο $[a,b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a,b)$ (γιατί οι $f$ και $g$ έχουν τις ίδιες ιδιότητες). 

Εύκολα ελέγχουμε ότι 

$h(a)=0=h(b)$. 

Μπορούμε λοιπόν να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Rolle: υπάρχει $x_0\in (a,b)$ ώστε 

$h^{\prime }(x_0)=0$. 

Αφού 

$h^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)(g(b)-g(a))-g^{\prime }(x_0)(f(b)-f(a))$ 

παίρνουμε την (1).