Θεώρημα Μέσης Τιμής του Cauchy

Θεώρημα

Εστω $f, g : [a, b] → R$, συνεχείς στο $[a, b]$ και παραγωγίσιμες στο $(a, b)$. Τότε, υπάρχει $x_0 ∈ (a, b)$ ώστε

$[f(b) − f(a)] g' (x_0) = [g(b) − g(a)] f ' (x_0)$     (1).

Απόδειξη

Θεωρούμε τη συνάρτηση $h : [a, b] → R$ με 

$h(x) = [f(x) − f(a)] (g(b) − g(a))-$ 

$− [f(b) − f(a)] (g(x) − g(a))$. 

Η h είναι συνεχής στο $[a, b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a, b)$ (γιατί οι $f$ και $g$ έχουν τις ίδιες ιδιότητες). 

Εύκολα ελέγχουμε ότι 

$h(a) = 0 = h(b)$. 

Μπορούμε λοιπόν να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Rolle: υπάρχει $x_0 ∈ (a, b)$ ώστε 

$h' (x_0) = 0$. 

Αφού 

$h' (x_0) = f'(x_0) (g(b) − g(a)) − g' (x_0) (f(b) − f(a))$ 

παίρνουμε την (1).