Στο παρακάτω σχήμα, τα $ABCD, ABFE$ και $EFCD$ είναι τραπέζια. Έστω $x = EF$ και
$\dfrac{(EFCD)}{(ABFE)}= 7$.
$3(a^2 + b^2) = 2022$
και ότι $x$ είναι ακέραιος αριθμός, ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του $x$;
(Α) $1$ (Β) $2$ (Γ) $3$ (Δ) $4$ (Ε) $5$ (ΣΤ)$6$
H εξίσωση ισοδύναμα γράφεται $a^{2}+b^{2}=674$ με μόνη θετική ακέραια λύση το ζεύγος (a,b)=(7,25) και αν $υ_{1},υ_{2}$ τα ύψη των τραπεζίων, ο λόγος των εμβαδών γίνεται $\dfrac{(25+x)υ_{2}}{(7+x)υ_{1}}=7$, ενώ από την ομοιότητα των τριγώνων ο λόγος των υψών είναι $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{OE-OA}{OD-OE}=
ΑπάντησηΔιαγραφή\dfrac{x-7}{25-x}$.Άρα η προηγούμενη εξίσωση γίνεται
$\dfrac{625-x^{2}}{x^{2}-49}=7<=>x=11$, άρα Β.