Σάββατο 8 Ιουλίου 2023

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 8/7/2023

69. Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε
$f(π/6 + x) + f(π/3 − x) = π/2$
για κάθε $x ∈ R$.
Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\int_0^{π/2}συν^2 f(x)dx$.
Αναρτήθηκε από στις 8.7.23
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. kfd8 Ιουλίου 2023 στις 10:38 μ.μ.

    Tα τόξα $\dfrac{π}{6}+x,\dfrac{π}{3}-x$ είναι συμπληρωματικά και με $u=\dfrac{π}{6}+x$ η δοσμένη σχέση γράφεται $f(u)+f(\dfrac{π}{2}-u)=\dfrac{π}{2}$
    <=>$2f(x)+2f(\dfrac{π}{2}-x)=π$(1).Aπό τον τύπο
    $συν^{2}x=\dfrac{1+συν2x}{2}$ το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται
    $\int_{0}^{\dfrac{π}{2}}\dfrac{1+συν2f(x)}{2}dx$=
    $\dfrac{π}{4}+0,5I$.Aπό τον τύπο (1) αντικαθιστώντας το συν2f(x) και u=π/2-χ προκύπτει Ι=-Ι<=>Ι=0 και το τελικό αποτέλεσμα είναι π/4.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)