ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γ ′ ΛΥΚΕΙΟΥ 2021 - Πρόβλημα 4

Δίνεται κύκλος $(K)$, σημεία του κύκλου $A,B,\Gamma$ καθώς και σημείο $M$ εξωτερικά του κύκλου τέτοιο, ώστε η $MA$ είναι εφαπτομένη στον κύκλο και τα $M,B,\Gamma$ είναι συνευθειακά.

Έστω $∆$ το μέσο του $AM$. Αν η $\Gamma ∆$ τέμνει τον $(K)$ στο $E$ και η $ME$ τέμνει τον $(K)$ στο $Z$, να δείξετε ότι

(α) $\angle ∆ME=\angle ∆\Gamma M$

(β) Η $BZ$ είναι παράλληλη της $MA$

(γ) Αν επιπλέον ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $MBE$ περνάει από το $∆$, να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $AB∆$ περνάει από το κέντρο του $(K)$.