ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γ ′ ΛΥΚΕΙΟΥ 2020 - Πρόβλημα 4

Δίνονται δύο πολυώνυμα $f(χ)$ και $g(χ)$ με ακέραιους συντελεστές και το πολυώνυμο: 

$ℎ(χ) = g(χ)f' (χ) − g'(χ)f(χ)$ 

Αν το πολυώνυμο $ℎ(χ)$ δεν έχει πραγματικές ρίζες και $ρ_1, ρ_2∈ ℝ$ είναι δύο ρίζες του $f(χ)$, να αποδείξετε ότι: 

i. $g(ρ_1) ≠ 0$ και $g(ρ_2) ≠ 0$ 

ii. υπάρχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα του $g(χ)$ στο διάστημα $(ρ_1, ρ_2)$.