ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γ ′ ΛΥΚΕΙΟΥ 2020 - Πρόβλημα 4

Δίνονται δύο πολυώνυμα $f(\chi )$ και $g(\chi )$ με ακέραιους συντελεστές και το πολυώνυμο: 

$ℎ(\chi )=g(\chi )f^{\prime }(\chi )-g^{\prime }(\chi )f(\chi )$ 

Αν το πολυώνυμο $ℎ(\chi )$ δεν έχει πραγματικές ρίζες και ${\rho }_1,{\rho }_2\in ℝ$ είναι δύο ρίζες του $f(\chi )$, να αποδείξετε ότι: 

i. $g({\rho }_1)\ne 0$ και $g({\rho }_2)\ne 0$ 

ii. υπάρχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα του $g(\chi )$ στο διάστημα $({\rho }_1,{\rho }_2)$.