Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 1ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μεγάλοι)

  ΤΕΣΤ 1ο  

ΘΕΜΑ 1

Έστω  το ακέραιο μέρος του  και  το δεκαδικό του μέρος. Να λύσετε στο  την εξίσωση

ΘΕΜΑ 2

Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο  το ύψος του  και το ορθόκεντρό του  Φέρουμε εφαπτομένη από το σημείο  στον κύκλο κέντρου  και ακτίνας  και έστω  το σημείο επαφής. Φέρουμε ακόμη εφαπτομένη από το  στον κύκλο κέντρου  και ακτίνας  και έστω  το σημείο επαφής. Να δείξετε ότι η ευθεία  περνάει από δύο ίχνη υψών του τριγώνου 

ΘΕΜΑ 3

Οι θετικοί ακέραιοι  και  είναι τέτοιοι ώστε

  

Να δείξετε ότι ο  διαιρεί τον  και ότι ο  είναι της μορφής  για κάποιον θετικό ακέραιο 

ΘΕΜΑ 4

Σε μια ακολουθία θετικών ακεραίων, ονομάζουμε αντιστροφή ένας ζεύγος θέσεων για το οποίο ο όρος που βρίσκεται στα αριστερά είναι μεγαλύτερος από τον όρο στα δεξιά.

Για παράδειγμα, η ακολουθία  έχει ακριβώς πέντε αντιστροφές.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός αντιστροφών που μπορεί να έχει μια ακολουθία θετικών ακεραίων με άθροισμα 

 Επιμέλεια: Αθανάσιος Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica