Μία ανισότητα, μία εξίσωση και ένα σύστημα [1]

Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $x,y$ και $z$ για τους οποίους ισχύει

$\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1.$

Να αποδείξετε ότι 

$\dfrac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}+\dfrac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{\sqrt{yz}+1}+\dfrac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{\sqrt{zx}+1}\geq\sqrt{3}$

Να λυθεί η εξίσωση 

$$\left(\log\left(x^{2}\left(2-x\right)\right)\right)^{3}+\left(\log x\right)^{2}\cdot\log\left(x\left(2-x\right)^{2}\right)=0.$$

Να λυθεί το σύστημα

$$\begin{cases}x^{3}-x^{2}+x\left(y^{2}+1\right) &=y^{2}-y+1 \\ 2y^{3}+12y^{2}+18y-2+z&=0 \\ 3z^{3}-9z+x-7 &=0\end{cases}$$ όπου $x,y,z\in\mathbb{R}$.