Μία ανισότητα, μία εξίσωση και ένα σύστημα [1]

Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $x,y$ και $z$ για τους οποίους ισχύει

$(x+y)(y+z)(z+x)=1.$

Να αποδείξετε ότι 

${\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{\sqrt{xy}+1}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{\sqrt{yz}+1}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{\sqrt{zx}+1}}\ge \sqrt{3}$

Να λυθεί η εξίσωση 

$${(\log \left(x^2(2-x)\right))}^3+{(\log x)}^2\cdot \log \left(x{(2-x)}^2\right)=0.$$

Να λυθεί το σύστημα

$$\{\begin{array}{ll}{x}^3-x^2+x(y^2+1)& =y^2-y+1\\ 2y^3+12y^2+18y-2+z& =0\\ 3z^3-9z+x-7& =0\end{array}$$ όπου $x,y,z\in \mathbb{R}$.