Ένας από τους πάπυρους του βρέθηκε το $1853$ από έναν Άγγλο που λεγόταν Rhind κοντά στο ναό του Ραμσή Β' στη Θήβα είχε πολλά μαθηματικά παζλ και ορίστε ένα:
$100$ καρβέλια ψωμί πρέπει να μοιράζονται σε πέντε εργάτες. Κάθε εργαζόμενος στη σειρά πρέπει να πάρει περισσότερα από τον προηγούμενο, το ίδιο ποσό περισσότερο σε κάθε περίπτωση (αριθμητική πρόοδος).
Και οι δύο πρώτοι εργάτες θα πάρουν επτά φορές λιγότερο από τους άλλους τρεις.
Πόσα ψωμιά (συμπεριλαμβανομένων των κλασμάτων ενός καρβελιού) παίρνει κάθε εργάτης;
Έστω α τα καρβέλια του πρώτου και ω η διαφορά της αριθμητικής προόδου . Τότε 5α+10ω=100 η πιο απλά α+2ω=20 (1) . Εξάλλου, 3α+9ω=7(2α+ω) η πιο απλά 11α=2ω (2). Λύνοντας το γραμμικό σύστημα των (1),(2) παίρνουμε α=3/5 και ω=33/10. Συνεχίστε.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠάπυρος του Rhind
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρόβλημα προέρχεται από τον Αιγυπτιακό Πάπυρο Ahmes – Rhind, ο οποίος βρέθηκε to 1855, πήρε τ’ όνομά του από τον Σκωτσέζο δικηγόρο και συλλέκτη Alexander Henry Rhind (1833-1863) ο οποίος τον αγόρασε από το Λούξορ το 1858 και κληροδοτήθηκε το 1864 στο Βρετανικό Μουσείο από τους κληρονόμους του, όπου και φυλάσσεται μέχρι σήμερα, κοντά στο Rammesseum στην Θήβα, στον τάφο του Ραμση του Β΄. Χρονολογείται μεταξύ 1788 και 1580 π.Χ. και αντιγράφηκε από τον γραφέα Ahmes (ο γιος του φεγγαριού).
(A’h-Mose) (≈ 1700 με 1650 π.Χ.) από έναν παλιότερο πάπυρο που γράφτηκε την περίοδο της βασιλείας του Αμενεμχέτ Γ’, δηλαδή 2000 χρόνια π.Χ., ο οποίος χρονολογείται την περίοδο 1842 με 1801 π.Χ.
(ή 2000 με 1800π.Χ.) και αποτελείται από 14 φύλλα παπύρου. Το κείμενο αρχίζει ως εξής:
«Κανών για να μάθει κανείς όλα τα σκοτεινά, όλα τα μυστήρια που κρύβονται μέσα στα πράγματα.»
Το κείμενο αυτό γράφτηκε το έτος 33 του τετάρτου μηνός της εποχής της πλημμύρας του Νείλου επί βασιλέως της Άνω και Κάτω Αιγύπτου Raa-mus (κατά τον A. Eisenlohr) ή Aauserre - Α-ούσερ-Ρε- (κατά τον Peet), σύμφωνα με το υπόδειγμα αρχαιοτέρων κειμένων της εποχής του βασιλιά της Άνω και Κάτω Αιγύπτου, Nemare – Νε-μα’ετ-Ρε
(Ρε = ρέι) [Αμενεμχέτ Γ΄].
O Αμενεμχέτ Γ' ήταν Φαραώ της 12ης Δυναστείας της Αρχαίας Αιγύπτου. Βασίλευσε από το περ. 1860 με περ.1814 π.Χ., με την τελευταία γνωστή χρονολογία να έχει βρεθεί σε πάπυρο με ημερομηνία Έτος 46, I Akhet 22 της βασιλείας του. Η βασιλεία του θεωρείται ως η χρυσή εποχή του Μέσου βασιλείου. Υπάρχει περίπτωση να συμβασίλευσε για μεγάλο χρονικό διάστημα (20 χρόνια) με τον πατέρα του Σέσωστρι Γ'.
Το μαθηματικό υλικό που παρουσιάζεται στον πάπυρο του Rind ανάγεται στην εποχή κατασκευής των πυραμίδων δηλαδή 2800
χρόνια π.Χ.
Ο πάπυρος αποτελείται από τρία μέρη:
•Το πρώτο μέρος περιέχει πίνακες αναφοράς και μια συλλογή από 20 αριθμητικά και 20 αλγεβρικά προβλήματα στα οποία συμμετέχουν περισσότερο γραμμικές εξισώσεις.
•Το δεύτερο μέρος του παπύρου του Rhind αποτελείται από γεωμετρικά προβλήματα.
•Το τρίτο μέρος του παπύρου του Rhind αποτελείται από μια συλλογή από 84 προβλήματα.
Την αντιγραφή την έκανε ο γραφέας Ahmes (κατά τον A. Eisenlohr) ή Ahmose (κατά τον Peet)». Είναι γραμμένος σε ιερογλυφική και ιερατική γραφή. Αποκρυπτογραφήθηκε από τον A. Eisenlohr το 1868, ο πρώτος που μετέφρασε το περιεχόμενο του πάπυρου Rhind από την ιερατική γραφή στα ιερογλυφικά.
Περιέχει 80 (84; ή 87;) περίπου αριθμητικά και γεωμετρικά προβλήματα, τα περισσότερα από τα οποία έχουν να κάνουν με την καθημερινότητα, που αφορούν κυρίως πρακτικά μαθηματικά με τις λύσεις τους.
Τα γεωμετρικά προβλήματα αφορούν το εμβαδόν ενός χωραφιού ή τον υπολογισμό του όγκου μιας αποθήκης σιτηρών.
Τ’ αριθμητικά προβλήματα αφορούν υπολογισμό μισθών, μοίρασμα ψωμιού κλπ., τα οποία ανάγονται σε εξισώσεις πρώτου βαθμού ή λύνονται με απλή μέθοδο των τριών.
Οι τρεις περικοπές υπ’ αριθμών 85, 86 και 87, τις οποίες ορισμένοι μελετητές τα ονομάζουν προβλήματα, είναι άσχετες με τα
μαθηματικά. Επίσης υπάρχουν και προβλήματα που δεν είχαν καμία πρακτική σημασία, αλλά είχαν σαν στόχο τη ψυχαγωγία. Ένα από τα σημαντικά, τ’ οποίο συναντάμε αργότερα και στην Ευρώπη το 1202 στα
λατινικά στο βιβλίο του Fibonacci με τίτλο «Liber Abaci», είναι και το πρόβλημα No.79 του St. Ives, έγινε ιδιαίτερα γνωστό μέσα από ένα παραδοσιακό αγγλικό παιδικό τραγούδι που αναφέρεται στο St. Ives.
Ο A. Eisenlohr ερμηνεύει τις παραπάνω πέντε λέξεις μπροστά από
τις δυνάμεις του 7, ως τα ονόματα που δίνουν οι Αιγύπτιοι στις δυνάμεις του 7. Το πιθανότερο όμως είναι ότι το Πρόβλημα 79 αναφέρεται σ’ ένα γνωστό πρόβλημα της εποχής. Φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο του Λονδίνου μαζί με τον Δερμάτινο Kύλινδρο (B.M.10250), ο οποίος περιέχει απλές σχέσεις μεταξύ των κλασμάτων (26 αθροίσματα μοναδιαίων κλασμάτων).
Ο Πάπυρος, στην αρχική του μορφή, είχε μήκος 5,50μ., πλάτος 33εκ. και ήταν τυλιγμένος σε κύλινδρο.
Let us say the middle worker (worker 3) gets "w" loaves.
ΑπάντησηΔιαγραφήAnd that "d" is the common difference between workers.
So the workers get:
w-2d
w-d
w
w+d
w+2d
The middle worker gets a perfect average, so 100/5 = 20 loaves
The first two workers get seven times less than the three others:
7*[(20-2d) + (20-d)] = 20 + (20+d) + (20+2d)
From this: d = 220/24, or 55/6
And this is the solution:
1st worker = 10/6 loaves
2nd worker = 65/6 loaves
3rd worker = 120/6 (20) loaves
4th worker = 175/6 loaves
5th worker = 230/6 loaves
Πολύ σωστά ! Βέβαια η άσκηση είναι τετριμμένη για όσους ξέρουν αριθμητικές προόδους.
Διαγραφήα=5/3 και ω=55/6 επί της ουσίας αυτό είναι κλειδι. Όλο τσακώνονται εδώ, παρέα είστε η θύρα 13;;;;
ΑπάντησηΔιαγραφήΤελικά Μιχάλη, αναρωτιέμαι ποια η σωστή λύση, ή βαθυστόχαστη δική σου ή αυτή που έδωσε ο Σωκράτης; 😄
Διαγραφή