Πέμπτη 4 Μαΐου 2023

Πυθαγόρεια τριάδα

Το άθροισμα των μηκών των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι $56$. 
Το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των τριών πλευρών του ίδιου ορθογωνίου τριγώνου είναι $1250$. 
Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου;
Αναρτήθηκε από στις 4.5.23
Ετικέτες , ,

2 σχόλια:

  1. kfd4 Μαΐου 2023 στις 5:18 μ.μ.

    Aπό ΠΘ 2$α^{2}$=1250<=>α=25=>β+γ=31=>$α^{2}$+2βγ=961=>2βγ=336=>Ε=84.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. PAPAVERI484 Μαΐου 2023 στις 7:15 μ.μ.

    Το εμβαδόν είναι 84.
    α+β+γ=56 (1)
    α^2+β^2+γ^2=1.250 (2)
    Βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
    2α^2=1.250 ===> α^2=1.250/2 ===> α^2=625
    Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι' έχουμε:
    sqrt[α^2]=sqrt[625] ===> α=25 (3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι' έχουμε:
    α+β+γ=56
    25+β+γ=56
    β+γ=56-256
    β+γ=31 (4)
    α^+2βγ=(β+γ)2
    25^2+2βγ=31^2
    625+2βγ=961
    2βγ=961-625
    2βγ=336 ===> βγ=336/2 ===> βγ=168 (5)
    Διερεύνηση:
    Το μόνο ζεύγος αριθμών που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος (β+γ=31) είναι το ζεύγος των αριθμών (7+24=31).
    Το εμβαδών του ορθογωνίου τριγώνου είναι:
    Ε=α*β/2 ===> Ε=β*γ/2 ===> Ε=7*24/2 ===>
    Ε=7*12 ===> Ε=84
    Επαλήθευση:
    α+β+γ=56 ===> 25+7+24=56
    α^2+β^2+γ^2=1.250
    25^2+7^2+24^2= 1.250
    625+49+576=1.250
    α^2+2βγ=(β+γ)^2
    25^2+2*7*24=(7+24)^2
    25^2+2*7*24=31^
    625+336=961 ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)