Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός τμημάτων που μπορεί να διαιρεθεί το επίπεδο με:
- $n$ ευθείες;
- $n$ κύκλους;
Για παράδειγμα, τα ακόλουθα δύο σχέδια απεικονίζουν τις περιπτώσεις $4$ γραμμών και $3$ κύκλων, αντίστοιχα:
Οι παραπάνω $3$ κύκλοι χωρίζουν το επίπεδο σε $8$ περιοχές.
ΑπάντησηΔιαγραφήα) Ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός περιοχών προκύπτει όταν κάθε ευθεία τέμνει όλες τις άλλες και δεν υπάρχουν τρείς ή περισσότερες ευθείες που να συντρέχουν σε ένα σημείο. Έτσι φέροντας τις ευθείες μία-μία διαδοχικά, η κ-οστή ευθεία τέμνει όλες τις προηγούμενες σε κ-1 νέα σημεία, προσθέτοντας κ νέες περιοχές. Έτσι έχουμε:
0 ευθείες: 1 περιοχή (όλο το επίπεδο)
1 ευθεία: 1+1 περιοχή (δύο ημιεπίπεδα)
2 ευθείες 1+1+2 περιοχές
3 ευθείες 1+1+2+3 περιοχές
..............................
η ευθείες 1+1+2+3+..+η = η(η+1)/2+1 περιοχές.
β) Ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός περιοχών προκύπτει όταν κάθε ζευγάρι κύκλων τέμνονται σε δύο σημεία και δεν υπάρχει άλλος κύκλος που να διέρχεται από αυτά. Με όρους επίπεδου γραφήματος, για η κύκλους έχουμε V=(n-1)n σημεία τομής (κορυφές), κάθε κύκλος τέμνεται από n-1 άλλους κύκλους, δηλαδή σχηματίζονται πάνω του 2(η-1) τόξα - ακμές, ήτοι συνολικά E=2(η-1)η ακμές. Από τη φόρμουλα Euler F=Ε-V+2, όπου F πλήθος εδρών (περιοχών), προκύπτουν F=2(η-1)n-(n-1)n+2 = n(n-1)+2 περιοχές - έδρες.