Δύναμη σημείου ως προς κύκλο - Ριζικός άξονας

Δύναμη σημείου ως προς κύκλο 

Θεώρημα 

Δίνεται κύκλος $(Ο, R)$ και $Ρ$ ένα εξωτερικό σημείο $Ρ$ του κύκλου. Από το $Ρ$ φέρουμε τις τέμνουσες $ΡΑΒ, ΡΓΔ$ και την εφαπτομένη $ΡΕ$ του κύκλου. 

Αποδεικνύεται ότι: 

$ΡΕ^2 = ΡΑ\times ΡΒ = ΡΟ^2 - R^2 = δ^2 - R^2$

όπου $δ=ΟΡ$. 

Η διαφορά (πραγματικός αριθμός) $δ^2 - R^2$ λέγεται δύναμη του σημείου $Ρ$ ως προς τον κύκλο $(Ο, R)$ και συμβολίζεται 

$Δ^Ρ_{O,R} = δ^2 - R^2 = ΡΟ^2 - R^2$.

Θεώρημα 

Τα σημεία του επιπέδου (γεωμετρικός τόπος) τα οποία έχουν ίσες δυνάμεις ως προς δύο μη ομόκεντρους κύκλους είναι μια ευθεία (α), κάθετη στη διάκεντρο των δύο αυτών κύκλων. 

Αντίστροφα, κάθε σημείο της ευθείας (ε) έχει ίσες δυνάμεις ως προς τούς δύο κύκλους. 

Η ευθεία αυτή (ε) λέγεται ριζικός άξονας των δύο κύκλων.

Μερικές ιδιότητες του ριζικού άξονα: 

i. Ο ριζικός άξονας δύο κύκλων πού τέμνονται στα $Α, Β$ είναι η (α) ευθεία που διέρχεται από τα $Α, Β$. 

ii. Αν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ή εξωτερικά τότε ο ριζικός άξονας είναι η κοινή τους εφαπτομένη στο σημείο επαφής. 

iii. Αν δύο κύκλοι είναι ίσοι τότε ο ριζικός τούς άξονας είναι η μεσοκάθετη της διακέντρου των κύκλων. 

iν. Ο ριζικός άξονας δύο κύκλων διχοτομεί τις κοινές εξωτερικές και εσωτερικές εφαπτόμενες τους.  

ν. Ένας κύκλος $C_3$ τέμνει τους κύκλους $C_1$ και $C_2$, στα σημεία $Α, Β$ και $Γ, Δ$ αντίστοιχα, τότε οι ευθείες $ΑΒ, ΔΓ$ τέμνονται επί τον ριζικού άξονα των $C_1$ και $C_2$.