Πέντε άνδρες και εννέα γυναίκες στέκονται σε ίσες αποστάσεις γύρω από έναν κύκλο με τυχαία σειρά.
Η πιθανότητα κάθε άντρας να στέκεται διαμετρικά απέναντι από μια γυναίκα είναι $\dfrac{m}{n}$, όπου $m,n$ είναι μεταξύ τους πρώτοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί.
Να βρεθεί το άθροισμα $m+n$.
AIME 2023
Έστω Α,Β,Γ,Δ,Ε οι άντρες υποθέτοντας ΧΒΓ ότι αυτοί επιλέγουν πρώτοι θέση με αυτή τη σειρά. Ο Α έχει 14/14 επιλογές θέσης (οποιαδήποτε), ο Β 12/13 επιλογές (όχι απέναντι από θέση Α), ο Γ 10/12 επιλογές (όχι απέναντι από θέση Α ή Β), ο Δ 8/11 επιλογές (όχι απέναντι από θέση Α ή Β ή Γ) και ο Ε 6/10 επιλογές (όχι απέναντι από θέση Α ή Β ή Γ ή Δ).
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πιθανότητα του ενδεχομένου 'κανένας άντρας απέναντι σε άντρα' είναι η πιθανότητα να συμβούν διαδοχικά όλα τα παραπάνω:
(14/14)*(12/13)*(10/12)*(8/11)*(6/10) = (6*8)/(11*13)=48/143, κλάσμα ανάγωγο, οπότε m+n=48+143=191.