Ο Ανδρέας έχει ξεχάσει τον κωδικό που του επιτρέπει να ξεκλειδώσει το ποδήλατό του.
Θυμάται ότι:
• είναι $3$ - ψήφιος αριθμός.
• το άθροισμα των ψηφίων είναι $13$.
• τα εξωτερικά ψηφία είναι άρτια.
• Με τα δεδομένα αυτά το γινόμενο των ψηφίων είναι το δυνατόν μεγαλύτερο.
Ποιος είναι ο κωδικός;
Ο κωδικός είναι ο 454.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠέρα από τη μέθοδο δοκιμής και σφάλματος, η λύση μπορεί, μαθηματικά, να βρεθεί ως εξής:
Εστω α, β, γ, τα ψηφία του κωδικού.
Εχουμε ότι α+γ=13-β. Για δεδομένο β, το γινόμενο α*γ (και επομένως και το γινόμενο α*β*γ), μεγιστοποιείται όταν α=γ. Επομένως οι δύο ακραίοι είναι ίσοι.
Επομένως το γινόμενο γράφεται ως α*α*β=α*α*(13-2*α)=13*α^2-2*α^3.
Η παράγωγος της ανωτέρω συνάρτησης ισούται με 26*α-6*α^2 και μηδενίζεται για α=13/3
Εξετάζουμε τις δύο τιμές α=4 και α=5, και βρίσκουμε μέγιστο γινόμενο για α=4, ίσο με 80
Τα θυμάται όλα αυτά και έχει ξεχάσει το 454; εσύ το πιστεύεις Κάρλο;;😀
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια εναλλακτική προσέγγιση από αυτή του Στράτου, για το 80, ως μέγιστο δυνατό γινόμενο:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν κ,λ,μ τα ψηφία του κωδικού, από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου είναι (κ*λ*μ)^(1/3) ≤ 13/3 => κ*λ*μ ≤(13/3)^3=81,37
Δεδομένου ότι ο κωδικός έχει τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο, η μέγιστη δυνατή τιμή κ*λ*μ είναι 80
Προσυπογράφω τη λύση του Θανάση. Απαιτεί μαθηματικές γνώσεις Γυμνασίου, ενώ η δική μου απαιτεί, αν όχι πανεπιστημιακές, τουλάχιστον, τρίτης Λυκείου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚατά τη ταπεινή μου γνώμη, ανάμεσα σε πολλές λύσεις, η απλούστερη είναι και η κομψότερη
Συμφωνώ απόλυτα φίλε Στράτο, αλλά η ανισότητα αριθμητικού- γεωμετρικού μέσου είναι γνώση γυμνασίου; όχι, είναι γνώση ολυμπιάδων γυμνασίου. Πάντως και η δική σου λύση είναι εξαιρετική, με γνώσεις τρίτης λυκείου!
Διαγραφή