Δύσκολη εξίσωση !

Να λυθεί η εξίσωση:

${\displaystyle 4\cdot \cos (\pi \cdot \sin (\pi \cdot x))=-5x^2+15x-\frac{61}{4}}$

Προτάθηκε από B. Bíró, Eger

Λύση
Το 2ο μέλος γράφεται:

${\displaystyle -5x^2+15x-\frac{61}{4}=-5(x-\frac{3}{2}{)}^2-4,}$ (1)

Έχουμε

${\displaystyle -1\le \cos [\pi \cdot \sin (\pi \cdot x)]\le 1,}$

οπότε

${\displaystyle -4\le 4\cos [\pi \cdot \sin (\pi \cdot x)]\le 4}$ (2)

Από (1) και (2) έχουμε;

${\displaystyle -4\le -5(x-\frac{3}{2}{)}^2-4\le 4}$

από όπου συμπεραίνουμε ότι η ισότητα προκύπτει μόνο αν

$-4=-5(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-4$

δηλαδή $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
Πράγματι, για $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ έχουμε
$({\displaystyle 4\cdot \cos [\pi \cdot \sin (\pi \cdot \frac{3}{2})]=}$

$=4\cdot \cos (\pi \cdot (-1))=4\cos (-\pi )=4\cdot (-1)=-4.$