Δύσκολη εξίσωση !

Να λυθεί η εξίσωση:

\(\displaystyle 4\cdot \cos\big(\pi\cdot \sin {(\pi \cdot x)}\big)=-5x^2+15x-\frac{61}{4} \)

Προτάθηκε από B. Bíró, Eger

Λύση
Το 2ο μέλος γράφεται:

\(\displaystyle -5x^2+15x-\frac{61}{4}=-5 \Big(x-\frac32 \Big) ^2-4,\) (1)

Έχουμε

\(\displaystyle -1 \le \cos\big[\pi\cdot{\sin{\big(\pi{\cdot{x}}\big)}\big]} \le 1, \)

οπότε

\(\displaystyle -4 \le 4\cos\big[\pi\cdot{\sin{\big(\pi{\cdot{x}}\big)}\big]} \le 4 \) (2)

Από (1) και (2) έχουμε;

\(\displaystyle -4 \le -5 \Big(x-\frac32 \Big) ^2-4 \le 4 \)

από όπου συμπεραίνουμε ότι η ισότητα προκύπτει μόνο αν

$ -4 = -5 \Big(x-\dfrac32 \Big) ^2-4$

δηλαδή $x=\dfrac{3}{2}$.
Πράγματι, για $x=\dfrac{3}{2}$ έχουμε
$(\displaystyle 4 \cdot \cos\big[\pi\cdot{\sin{\Big(\pi{\cdot{\frac32}}\Big)}\big]}=$

$=4 \cdot \cos(\pi \cdot (-1))= 4\cos(-\pi)=4 \cdot(-1)=-4.$