Υπάρχει άραγε;

Υπάρχει άρρητος αριθμός ${\displaystyle a}$ τέτοιος ώστε ο αριθμός ${\displaystyle a^{\sqrt{3}}}$ να είναι ρητός;

Προτάθηκε από B. Hujter, Budapest

Λύση

Υπάρχει. Είναι ο αριθμός ${\displaystyle a=\sqrt[3]{3}}$.

Πράγματι:

${\displaystyle {\alpha }^{\sqrt{3}}={\left({\sqrt[3]{3}}^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{3}}={\sqrt[3]{3}}^{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}={\sqrt[3]{3}}^3=3}$

που είναι ρητός.