Υπάρχει άραγε;

Υπάρχει άρρητος αριθμός \(\displaystyle a\) τέτοιος ώστε ο αριθμός \(\displaystyle a^{\sqrt{3}}\) να είναι ρητός;

Προτάθηκε από B. Hujter, Budapest

Λύση

Υπάρχει. Είναι ο αριθμός \(\displaystyle a= \sqrt[3]{3}\).

Πράγματι:

\(\displaystyle \alpha^{\sqrt{3}} = \left(\sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt[3]{3}^{3} = 3\)

που είναι ρητός.