Τιμή παράστασης

Έστω $α$, $β$ είναι θετικοί αριθμοί που ικανοποιούν την ισότητα

$a + 2\sqrt{ab} +\sqrt{a} +\sqrt{b} + b = 6$.

Βρείτε την τιμή της παράστασης:

$Κ=\dfrac{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+2021}{3- \sqrt{a}- \sqrt{b}}$

Λύση

Για να μας βοηθήσει να απλοποιήσουμε την εξίσωση, κάνουμε την αντικατάσταση $x =\sqrt{a}$ και $y =\sqrt{b}ι$.

Τότε η ισότητα γίνεται 

$x^2 ​​+ 2xy + x + y + y^2 = 6$

$(x+y)^2 + (x + y) − 6 = 0$

$(x + y − 2)(x + y + 3) = 0$.

Επομένως, $x + y = 2$ ή $x + y = −3$. Τα $x$ και $y$ είναι τετραγωνικές ρίζες, άρα δεν είναι δυνατό για το $x + y$ να είναι αρνητικό, και έτσι $x + y = 2$.

Οπότε έχουμε 

$Κ=\dfrac{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+2021}{3- \sqrt{a}- \sqrt{b}}= \dfrac{x+y+2021}{3-(x+y )} = 2023$.