Τιμή παράστασης

Έστω $\alpha$, $\beta$ είναι θετικοί αριθμοί που ικανοποιούν την ισότητα

$a+2\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+b=6$.

Βρείτε την τιμή της παράστασης:

${\rm K}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2021}{3-\sqrt{a}-\sqrt{b}}}$

Λύση

Για να μας βοηθήσει να απλοποιήσουμε την εξίσωση, κάνουμε την αντικατάσταση $x=\sqrt{a}$ και $y=\sqrt{b}\iota$.

Τότε η ισότητα γίνεται 

$x^2+2xy+x+y+y^2=6$

$(x+y{)}^2+(x+y)-6=0$

$(x+y-2)(x+y+3)=0$.

Επομένως, $x+y=2$ ή $x+y=-3$. Τα $x$ και $y$ είναι τετραγωνικές ρίζες, άρα δεν είναι δυνατό για το $x+y$ να είναι αρνητικό, και έτσι $x+y=2$.

Οπότε έχουμε 

${\rm K}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2021}{3-\sqrt{a}-\sqrt{b}}}={\displaystyle \frac{x+y+2021}{3-(x+y)}}=2023$.