Μικρό Θεώρημα του Fermat

Θεώρημα

$𝑝$ πρώτος, $𝑝$ δεν διαιρεί το $𝑎$, τότε ${𝑎}^{𝑝-1}-1$ είναι πολλαπλάσιο του $𝑝$. Αντίστοιχα χωρίς περιορισμούς στο $𝑎$: ${𝑎}^{𝑝}-𝑎$ είναι πολλαπλάσιο του $𝑝$.

Απόδειξη (Euler)

• Όταν $𝑎=1$, απλό.

• Έστω αληθές όταν $𝑎=𝑘$: ${𝑘}^{𝑝}-𝑘=𝑝𝑡$,$𝑡\in \mathbb{N}$.

• Έστω τώρα $𝑎=𝑘+1$. 

Τότε

$(𝑘+1{)}^{𝑝}-(𝑘+1)=$

$=({𝑘}^{𝑝}+𝑝𝑚+1)-(𝑘+1)=({𝑘}^{𝑝}-𝑘)+𝑝𝑚=𝑝(𝑡+𝑚)$

Πηγή: opencourses.auth