Αναζήτηση ριζών

Για τις παρακάτω περιπτώσεις υποθέστε ότι οι συναρτήσεις $f$ είναι συνεχείς, εκτός αν υποδεικνύεται διαφορετικά με κάποιο τρόπο. Από τις δεδομένες πληροφορίες είναι δυνατόν να προσδιοριστεί αν υπάρχει ρίζα της στο συγκεκριμένο διάστημα;

Εάν δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσετε αν υπάρχει ρίζα στο συγκεκριμένο διάστημα σχεδιάστε μια γραφική παράσταση με δύο συναρτήσεις που η μία να πληροί τις δεδομένες πληροφορίες και να έχει ρίζα στο συγκεκριμένο διάστημα και η άλλη να μην έχει ρίζα στο συγκεκριμένο διάστημα.

1. \(f\left( { - 5} \right) = 12\) και \(f\left( 0 \right) = - 3\), στο διάστημα \(\left[ { - 5,0} \right]\).
2. \(f\left( 1 \right) = 30\) και \(f\left( 9 \right) = 6\), στο διάστημα \(\left[ {1,9} \right]\).
3. \(f\left( {20} \right) = - 100\) και \(f\left( {40} \right) = - 100\), στο διάστημα \(\left[ {20,40} \right]\).
4. \(f\left( { - 4} \right) = - 10\), \(f\left( 5 \right) = 17\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,{1^ - }} f\left( x \right) = - 2\), και \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,{1^ + }} f\left( x \right) = 4\) , στο διάστημα \(\left[ { - 4,5} \right]\).
5. \(f\left( { - 8} \right) = 2\), \(f\left( 1 \right) = 23\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - {4^ - }} f\left( x \right) = 35\), και \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - {4^ + }} f\left( x \right) = 1\) , στο διάστημα \(\left[ { - 8,1} \right]\).
6. \(f\left( 0 \right) = - 1\), \(f\left( 9 \right) = 10\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,{2^ - }} f\left( x \right) = - 12\), και \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,{2^ + }} f\left( x \right) = - 3\) , στο διάστημα \(\left[ {0,9} \right]\).