Ίχνος σαλιγκαριού

Ένα σαλιγκάρι ξεκινάει ένα ταξίδι ξεκινώντας από την αρχή ενός επιπέδου συντεταγμένων.

Το σαλιγκάρι κινείται κατά μήκος ευθύγραμμων τμημάτων μήκους $\sqrt{10}$ και προς οποιαδήποτε κατεύθυνση έτσι ώστε η οριζόντια και η κατακόρυφη μετατόπιση να είναι και οι δύο ακέραιοι αριθμοί.

Καθώς το σαλιγκάρι κινείται, αφήνει ένα ίχνος που περιγράφει ολόκληρο το ταξίδι του. Μετά από λίγο, αυτό το ίχνος μπορεί να σχηματίσει διάφορα πολύγωνα. Ποιο είναι το μικρότερο δυνατό εμβαδόν ενός πολυγώνου που μπορεί να δημιουργηθεί από το ίχνος του σαλιγκαριού;