Πέμπτη 30 Μαρτίου 2023

Ποιο είναι το μεγαλύτερο;

Δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις
   
και ίσες περιμέτρους.
Αν
   
Να βρείτε ποιο απ' τα δύο τρίγωνα έχει μεγαλύτερο εμβαδόν.
Πηγή: mathematica

Αναρτήθηκε από στις 30.3.23
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. Στράτος30 Μαρτίου 2023 στις 1:43 μ.μ.

    Από τον τύπο του Ηρωνα για το εμβαδόν τριγώνου συναρτήσει των πλευρών του:

    Α=sqr((s*(s-a)*(s-b)*(s-c)), όπου s η ημιπερίμετρος του τριγώνου, έχουμε:

    s-b=(a-b+c)/2
    s-c=(a+b-c)/2
    A=sqr((s*(s-a)*((a-b+c)/2)*((a+b-c)/2)))
    A=sqr((s*(s-a)*(a^2-(b-c)^2)/4)

    Οι δύο πρώτοι όροι της υπόριζας ποσότητας, s και (s-a), είναι κοινοί και στα δύο τρίγωνα, ενώ ο τρίτος όρος είναι μεγαλύτερος στο δεύτερο τρίγωνο, το οποίο έχει μικρότερη απόλυτη τιμή της διαφοράς (b-c), άρα και του τετραγώνου (b-c)^2
    Επομένως μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τρίγωνο A1B1C1

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. papadim30 Μαρτίου 2023 στις 2:47 μ.μ.

    Αφού συμφωνήσω με το Στράτο, δίνω και μια διαισθητική απάντηση, χωρίς τύπους:
    Μπορούμε να φανταστούμε την κορυφή Α σαν κινητό σημείο μιας έλλειψης με εστίες τα σημεία Β και C και σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες b+c. Όσο μεγαλώνει η απόσταση του Α από το μικρό άξονα της έλλειψης (δηλ. τη μεσοκάθετο του BC), τόσο μεγαλώνει η διαφορά των αποστάσεων του από τις δύο εστίες και τόσο μικραίνει η απόστασή του από το μεγάλο άξονα της έλλειψης, δηλαδή το ύψος του τριγώνου στη βάση α. Ίδια βάση, μικρότερο ύψος, άρα το ABC αριστερά έχει μικρότερο εμβαδό.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)