Οι δύο πρώτοι όροι της υπόριζας ποσότητας, s και (s-a), είναι κοινοί και στα δύο τρίγωνα, ενώ ο τρίτος όρος είναι μεγαλύτερος στο δεύτερο τρίγωνο, το οποίο έχει μικρότερη απόλυτη τιμή της διαφοράς (b-c), άρα και του τετραγώνου (b-c)^2 Επομένως μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τρίγωνο A1B1C1
Αφού συμφωνήσω με το Στράτο, δίνω και μια διαισθητική απάντηση, χωρίς τύπους: Μπορούμε να φανταστούμε την κορυφή Α σαν κινητό σημείο μιας έλλειψης με εστίες τα σημεία Β και C και σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες b+c. Όσο μεγαλώνει η απόσταση του Α από το μικρό άξονα της έλλειψης (δηλ. τη μεσοκάθετο του BC), τόσο μεγαλώνει η διαφορά των αποστάσεων του από τις δύο εστίες και τόσο μικραίνει η απόστασή του από το μεγάλο άξονα της έλλειψης, δηλαδή το ύψος του τριγώνου στη βάση α. Ίδια βάση, μικρότερο ύψος, άρα το ABC αριστερά έχει μικρότερο εμβαδό.
έχουν ίσες βάσεις
Από τον τύπο του Ηρωνα για το εμβαδόν τριγώνου συναρτήσει των πλευρών του:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑ=sqr((s*(s-a)*(s-b)*(s-c)), όπου s η ημιπερίμετρος του τριγώνου, έχουμε:
s-b=(a-b+c)/2
s-c=(a+b-c)/2
A=sqr((s*(s-a)*((a-b+c)/2)*((a+b-c)/2)))
A=sqr((s*(s-a)*(a^2-(b-c)^2)/4)
Οι δύο πρώτοι όροι της υπόριζας ποσότητας, s και (s-a), είναι κοινοί και στα δύο τρίγωνα, ενώ ο τρίτος όρος είναι μεγαλύτερος στο δεύτερο τρίγωνο, το οποίο έχει μικρότερη απόλυτη τιμή της διαφοράς (b-c), άρα και του τετραγώνου (b-c)^2
Επομένως μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τρίγωνο A1B1C1
Αφού συμφωνήσω με το Στράτο, δίνω και μια διαισθητική απάντηση, χωρίς τύπους:
ΑπάντησηΔιαγραφήΜπορούμε να φανταστούμε την κορυφή Α σαν κινητό σημείο μιας έλλειψης με εστίες τα σημεία Β και C και σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες b+c. Όσο μεγαλώνει η απόσταση του Α από το μικρό άξονα της έλλειψης (δηλ. τη μεσοκάθετο του BC), τόσο μεγαλώνει η διαφορά των αποστάσεων του από τις δύο εστίες και τόσο μικραίνει η απόστασή του από το μεγάλο άξονα της έλλειψης, δηλαδή το ύψος του τριγώνου στη βάση α. Ίδια βάση, μικρότερο ύψος, άρα το ABC αριστερά έχει μικρότερο εμβαδό.