Σάββατο 4 Μαρτίου 2023

Πραγματικές ρίζες

Έστω $b$ και $c$ τυχαίοι ακέραιοι αριθμοί που επιλέγονται από το σύνολο $\big\{1, 2, . . . . , 100\big\}$.  
Ποια είναι η πιθανότητα οι ρίζες του τριωνύμου 
$x^2 +bx+c$ 
να είναι πραγματικές; 
Αναρτήθηκε από στις 4.3.23
Ετικέτες ,

6 σχόλια:

  1. michalis zartoulas4 Μαρτίου 2023 στις 7:55 μ.μ.

    $ \displaystyle \frac {[\frac {3^{2}}{4}]+[\frac {4^{2}}{4}]+[\frac {5^{2}}{4}]+...+[\frac {100^{2}}{4}]}{99\cdot 50} $

    με [ ] συμβολίζεται το ακέραιο μέρος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. michalis zartoulas4 Μαρτίου 2023 στις 8:00 μ.μ.

    Συμπληρώνω κάτι άλλο: Ποια είναι η πιθανότητα αυτό το τριώνυμο να έχει ρίζες μόνο στους μιγαδικούς αριθμούς; (δηλαδή, αρνητική διακρίνουσα)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. michalis zartoulas4 Μαρτίου 2023 στις 8:17 μ.μ.

    Έχω ξεχάσει μία ευνοϊκή περίπτωση, το [2^2/4]=1

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. michalis zartoulas5 Μαρτίου 2023 στις 11:52 π.μ.

    Η πιθανότητα να έχει το τριώνυμο πραγματικές λύσεις είναι:

    $ \displaystyle \frac {[\frac {2^{2}}{4}]+[\frac {3^{2}}{4}]+[\frac {4^{2}}{4}]+...+[\frac {100^{2}}{4}]}{99\cdot 50} $

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Alex5 Μαρτίου 2023 στις 2:22 μ.μ.

      Μήπως θα μπορούσατε να εξηγήσετε συνοπτικά το σκεπτικό της λύσης σας; και πόσο % δίνει η πιο πάνω παράσταση;

      Διαγραφή
  5. papadim5 Μαρτίου 2023 στις 6:30 μ.μ.

    Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για μη πραγματικές ρίζες είναι:
    Δ=b^2-4c<0 ⇒ b^2<4c ⇒ b<2√c
    Οι τιμές c, b και το πλήθος περιπτώσεων όπου το τριώνυμο έχει μη πραγματικές ρίζες συνοψίζονται ακολούθως:
    c=91-100 ⇒ b<20, 10×19=190
    c=82-90 ⇒ b<19, 9×18=162
    c=73-81 ⇒ b<18, 9×17=153
    c=65-72 ⇒ b<17, 8×16=128
    c=57-64 ⇒ b<16, 8×15=120
    c=50-56 ⇒ b<15, 7×14=98
    c=43-49 ⇒ b<14, 7×13=91
    c=37-42 ⇒ b<13, 6×12=72
    c=31-36 ⇒ b<12, 6×11=66
    c=26-30 ⇒ b<11, 5×10=50
    c=21-25 ⇒ b<10, 5×9=45
    c=17-20 ⇒ b<9, 4×8=32
    c=13-16 ⇒ b<8, 4×7=28
    c=10-12 ⇒ b<7, 3×6=18
    c=7-9 ⇒ b<6, 3×5=15
    c=5-6 ⇒ b<5, 2×4=8
    c=3-4 ⇒ b<4, 2×3=6
    c=2 ⇒ b<3, 1×2=2
    c=1 ⇒ b<2, 1×1=1
    Το συνολικό πλήθος των περιπτώσεων για μη πραγματικές ρίζες είναι 1285, συνεπώς η πιθανότητα για πραγματικές ρίζες υπολογίζεται σε:
    1-1285/10000=8715/10000=87,15%

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)