Στρατηγική επίλυσης εξίσωσης με την χρήση της μονοτονίας συνάρτησης

Βασική μέθοδος επίλυσης μια εξίσωσης με την βοήθεια της έννοιας της συνάρτησης είναι η χρήση της ιδιότητας $1–1$. Έστω ότι μας δίδεται να επιλύσουμε μια εξίσωση. Για να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα $1–1$ μιας συνάρτησης συνήθως εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο: 

1. Προσδιορίζουμε το σύνολο αναφοράς της εξίσωσης που μας δίδεται. Δηλαδή καθορίζουμε το υποσύνολο $Α$ των πραγματικών αριθμών στο οποίο πρέπει (ή με άλλα λόγια, μπορούν) να περιέχονται οι λύσεις της εξίσωσης. 

2. Εντοπίζουμε μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το σύνολο $Α$ και γνωστό στοιχείο $a$ του $Α$ έτσι, ώστε η εξίσωση που μας έχει δοθεί για επίλυση να μπορεί να πάρει την μορφή $f(x)= f(a)$ και να είναι ισοδύναμη με αυτήν. 

3. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι $1–1$. 

4. Συμπεραίνουμε ότι η μοναδική λύση της εξίσωσης στο $Α$ είναι η $x = a$. 

Σχόλια: 

Στην ανωτέρω ακολουθία βημάτων επίλυσης συνήθως το δεύτερο βήμα εμφανίζει την μεγαλύτερη δυσκολία, καθώς πρέπει να βρούμε την συνάρτηση $f$ και να εκτιμήσουμε την λύση $a$. 

Ως προς την f πρέπει να γνωρίζουμε ότι συνήθως η προσφορότερη μέθοδος προσδιορισμού της είναι ο εντοπισμός μιας δομής που επαναλαμβάνεται μέσα στις εκφράσεις που δομούν την εξίσωση. 

Για τον προσδιορισμό της λύσης $a$ συνήθως δοκιμάζουμε ορισμένες χαρακτηριστικές τιμές του x, όπως: i. τα ουδέτερα στοιχεία των πράξεων $0$ και $1$, 

ii. αναλόγως της μορφής της συνάρτησης $f$, τους αριθμούς $e$ και $π$, 

iii. αριθμούς που καθιστούν $0, 1, e, π$ κλπ. μια επαναλαμβανόμενη έκφραση στο σώμα της εξίσωσης. 

Σε κάποιες περιπτώσεις το $a$ προκύπτει κατόπιν συλλογιστικής διαδικασίας σχετικά με το ποια μπορεί να είναι η κατάλληλη τιμή του. 

Στο τρίτο βήμα, στην απόδειξη της ιδιότητας $1–1$ της συνάρτησης $f$, συνήθως αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $Α$. Τότε από την ρω πρόταση $5$, συμπεραίνουμε ότι η $f$ είναι $1–1$ σε αυτό. Εδώ πρέπει να προσέξουμε ιδιαιτέρως το εξής: 

Υπάρχει περίπτωση το $Α$ να μην είναι διάστημα ή η $f$ να είναι κατά διαστήματα μονότονη στο $Α$. 

Τότε εντοπίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας $Α_1$, $Α_2$, …, $Α_ν$ της $f$ και εφαρμόζουμε την στρατηγική που περιγράψαμε προηγουμένως σε κάθε ένα από τα διαστήματα αυτά. 

Από το περιοδικό «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'» της Ε.Μ.Ε. τ. 109.