Δευτέρα 13 Φεβρουαρίου 2023

Άθροισμα τετραγώνων

Τα τρίγωνα $CAB$ και $EFD$ είναι όμοια. Αν 
$AC = x + y + z$, $AB = z + 6$
$BC = x+8z$, $EF = 3$
$DF = 2y−z$, $DE = y+2$ 
να βρεθεί το άθροισμα 
$x^2+y^2+z^2$.
Αναρτήθηκε από στις 13.2.23
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. PAPAVERI4814 Φεβρουαρίου 2023 στις 12:47 π.μ.

    Εφόσον τα τρίγωνα CAB και EFD είναι όμοια, προκύπτει ότι AC = EF, AB = FD και BC = ED. Έτσι, έχουμε το εξής σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
    AC = EF === x+y+z=3 (1)
    AB = FD === z+6=2y−z (2)
    BC = ED === x+8z= y+2 (3)
    Το άθροισμα x^2+y^2+z^2 ισούτε με 21.
    Λύνουμε την εξίσωση (2) ως προς «y» κι’ έχουμε:
    z+6=2y−z === 2y=6+z+z ===2y=6+2z ===
    2y=2*(3+z) === y=2*(3+z)/2 === y=3+z (4)
    Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
    x+8z= y+2 === x+8z=3+z+2 ===
    x=3+z+2-8z === x=5-7z (5)
    Αντικαθιστούμε τις (4) και (5) στην (1) κι’ έχουμε:
    x+y+z=3 === 5-7z+3+z+z=3 ===
    7z=5+2+3-3 === 7z=7 === z=7/7 === z=1
    Αντικαθιστούμε την (6) στις (4) και (5) κι’ έχουμε:
    κι’ έχουμε:
    y=3+z === y=3+1 === y=4 (7)
    x=5-7z === x=5-7*1 === x=5-7 === x= -2 (8)
    Άρα:
    x^2+y^2+z^2=(-2)^2+4^2+1^2=4+16+1=21 ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)