Συνεχής και παραγωγίσιμη [5]

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\to R$. Αν $f$ παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,1)$, $f(0)=0$ και $0<f^{\prime }(x)\le 1$, για κάθε $x\in (0,1)$, να αποδειχθεί ότι

$({\int }_0^{1}f(x)dx{)}^2\ge {\int }_0^1{f}^3(x)dx$.