Παρασκευή 3 Φεβρουαρίου 2023

Η μία έχει, η άλλη όχι

Έστω $a, b, c$ και $d$ πραγματικοί αριθμοί. Η εξίσωση
$x^2 + ax + b = 0$
έχει δύο πραγματικές ρίζες.
Ενώ η εξίσωση 
$(x^2 − 2cx + d)^2 + a(x^2 − 2cx + d) + b = 0$ 
δεν έχει πραγματικές ρίζες. 
Αποδείξτε ότι 
$d^2 + ad + b>c^4$. 
Αναρτήθηκε από στις 3.2.23
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. kfd7 Φεβρουαρίου 2023 στις 10:23 π.μ.

    Το σύνολο τιμών του τριωνύμου y=$x^{2}$-2cx+d είναι το [d-$c^{2}$,+$\infty$] και αφού η εξίσωση $y^{2}$+ay+b=0 είναι αδύνατη πρέπει να ισχύει
    $\frac{-a\pm \sqrt{a^{2}-4b}}{2}<d-c^{2}$,
    $-a\pm \sqrt{a^{2}-4b}<2d-c^{2}$,
    που σημαίνει
    $2c^{2}<2d+a-\sqrt{a^{2}-4b}$ και
    $2c^{2}<2d+a+\sqrt{a^{2}-4b}$.
    Πολλ/ντας κατά μέλη
    $4c^{4}<\left ( 2d+a \right )^{2}-a^{2}+4b=4d^{2}+4ad+4b$ και δια 4.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)