Πέμπτη 23 Φεβρουαρίου 2023

Ελάχιστη τιμή

Για ποια τιμή του $a > 1$, το ολοκλήρωμα
$$\int_α^{α^2}\dfrac{1}{x}ln\dfrac{x − 1}{32}dx$$
παίρνει την ελάχιστη τιμή; 
Αναρτήθηκε από στις 23.2.23
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. Μαρίνος Ματιάτος24 Φεβρουαρίου 2023 στις 2:38 μ.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Μαρίνος Ματιάτος24 Φεβρουαρίου 2023 στις 4:10 μ.μ.

    Θεωρούμε το ολοκλήρωμα ως μια συνάρτηση F(α) πραγματικής μεταβλητής α με α>1.
    Εξετάζουμε την μονοτονία και τα ακρότατα της F στο διάστημα τιμών α>1
    Έχουμε F'(α) = ln(((α+1)^2 (α-1))/32)>0 ισοδύναμα
    ln(((α+1)^2 (α-1))/32) >0 ισοδύναμα
    ln(((α+1)^2 (α-1))/32) > ln(1) ισοδύναμα
    ((α+1)^2 (α-1))/32 >1 ισοδύναμα
    α^3 +α^2 -α-33 >0 (1)
    Η συνάρτηση έχει g(α)= α^3 +α^2 -α-33 έχει προφανή ρίζα την α=3 και είναι μοναδική στο διάστημα για α>1 επειδή η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό, λόγω του ότι g'(α)= 3α^2+2α-1 > 0 για α>1.
    Επειδή g γνησίως αύξουσα έχουμε
    g(α)>g(3)=0 για α>3 και λόγω της (1) έχουμε:
    F'(α) >0 ισοδύναμα α>3,
    ομοίως για F'(α) <0 ισοδύναμα 1 < α < 3,
    Επίσης αν στη σχέση (1) θέσουμε την ισότητα αντί για την ανισότητα έχουμε F'(α)=0 ισοδύναμα
    α^3 +α^2 -α-33 = 0 ισοδύναμα α=3 μοναδική πραγματική λύση όπως αναφέραμε πιο πάνω.
    Άρα η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα για
    1 < α <3 και γνησίως αύξουσα για α>1,
    και στο σημείο α=3 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και παίρνοντας την ελάχιστη τιμή για α=3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)