Θεωρούμε συνάρτηση \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) δύο φορές παραγωγίσιμη στο \(\mathbb{R}\) και στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης \(f'(x)\).
Γνωρίζουμε ότι:
- \(\underset{x\rightarrow -∞}{\lim}{f(x)}=+∞,\ \underset{x\rightarrow +∞}{\lim}{f(x)}=-∞\),
- τα \(α, β\) είναι οι τετμημένες των μοναδικών δύο σημείων στα οποία τέμνει τον άξονα \(x'x\) η γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης \(f'(x)\)
- \(f(α)\lt 0, f(β)>0\)
- η γραφική παράσταση της \(f'(x)\) παρουσιάζει ολικό ακρότατο στη θέση \(x_{0}\)
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα η \(f(x)\).
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει τρεις ακριβώς πραγματικές ρίζες.
(Μονάδες 9)
γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \(x∈R\), ισχύει
\(f(x+1)-f(x)≤2\).
(Μονάδες 8)
α. f γν. αύξ. στο [α,β] και γν. φθ. στο (-$\infty$,α],[β,+$\infty$) λόγω του προσήμου της f΄ όπως φαίνεται στον πίνακα. Άρα τοπ. ελ. στο α και τοπ. μέγ. στο β.
ΑπάντησηΔιαγραφήβ. Το σ.τ. της f στο (-$\infty$,α] είναι το [f(α),+$\infty$) με f(α)<0 που περιέχει το 0, άρα εκεί η f έχει μοναδική ρίζα. Όμοια από Bolzano και μονοτονία έχει μία ρίζα στο (α,β) και όμοια μία ρίζα στο (β,+$\infty$).
γ. Από ΘΜΤ στο [x,x+1] υπάρχει ξ στo (x,x+1) ώστε f΄(ξ)=f(x+1)-f(x). Aπό τον πίνακα f΄ γν.αύξ. στο
(-$\infty$,$x_{0}$] και γν.φθ. στο [$x_{0}$,+$\infty$), άρα η f΄ έχει ολικό μέγιστο στο f΄($x_{0}$)=2, που σημαίνει ότι f΄(ξ)$\leq$2.