Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με $AB < AC$ και $ACB = 60◦$. Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $B$ και $C$ που εφάπτεται στο $AB$ έχει κέντρο το $O$ και τέμνει την πλευρά $AC$ σε δύο διαφορετικά σημεία $C$ και $D$.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7FbwQ6AWLDjHwWq1HtAeSVplTP1hTDAGy0PJUcD8A-ZATRbuCEtCXeDMmvJlIAjwtkv0uegfKNFkabjHG0XniIUtpDB4On5VH9KH5NyW_9oDQ2xYnd6E1bkr-buXJCU0Ug6QZoJXZo9Z4s6k77PtVAqBLUEh-b3vtMnqSU3FXaAvCSQzgem1PLgvIGg/s16000/%CE%A7%CF%89%CF%81%CE%AF%CF%82%20%CF%84%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF.png)
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Το τρίγωνο ΑΒV είναι ορθογώνιο στο Β και το ΒU είναι το ύψος του προς την υποτείνουσα, οπότε :
ΑπάντησηΔιαγραφήγ. BVA=γ. ABC (1)
Επιπλέον, από το θεώρημα γωνίας χορδής-εφαπτομένης είναι γ. BOC=2 γ. ABC και επιπλέον το O είναι το περίκεντρο του τριγώνου BDC , άρα:
γ. ΒDC=180-γ.BOC/2=180-γ. ABC (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι γ. BVA=γ. BDA και άρα το τετράπλευρο ABVD είναι εγγράψιμο με άμεση συνέπεια γ. VDA=γ. VDC=90 μοίρες και συνεπώς είναι οι γωνίες VDC και VUC είναι ορθές με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο CDUV να είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου VC. Εφόσον το M είναι το μέσο του VC, έπεται ότι το M είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του εγγράψιμου τετραπλεύρου CDUV . Επομένως, από τη σχέση εγγεγραμμένης-αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας , προκύπτει η γωνία DMU είναι διπλάσια της γωνίας DCU, η οποία είναι 60 μοίρες. Άρα, η γωνία που ζητάμε είναι 120 μοίρες.
Καληνύχτα παιδιά!