Ένας ορθογώνιος κήπος είχε μήκος $50$ m και πλάτος $40$ m. Δίπλα χτίστηκε μια τεχνητή λίμνη, έτσι ώστε όλο το σύνολο να σχηματίζει ένα τετράγωνο $60$ m.
Στη συνέχεια κατασκευάστηκε ένας φράχτης που χώριζε τόσο τον κήπο όσο και τη λίμνη σε δύο μέρη με ίσες επιφάνειες, όπως φαίνεται στην εικόνα.
Πόσο μήκος έχει αυτός ο φράχτης;
A) $60$ m B) $30√5$ m C) $60√2$ m D) $85$ m E) $60√3$ m
Math Kangaroo 2020
Πρέπει να είναι μικρότερος από 60√2 (διαγώνιος τετραγώνου) και μεγαλύτερος από 60 (πλευρά), δηλ. αποκλείω τα Α,C,D,E και κρατώ το Β (30√5)
ΑπάντησηΔιαγραφήEπιπλέον ερωτήματα: Να δείξετε ότι τα σχηματιζόμενα τραπέζια είναι ίσα και για το μήκος του φράχτη που βρήκατε, να υπολογίσετε την απόσταση ενός άκρου του φράχτη από μία διπλανή κορυφή.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ φράχτης περνάει από τα κέντρα και του ορθογωνίου 40×50 και του τετραγώνου 60×60 (αλλιώς δεν θα τα διχοτομούσε). Η ισότητα των τραπεζίων ανά δύο (των δύο μικρών πράσινων του ορθογωνίου και των δύο μεγάλων του τετραγώνου) είναι πλέον προφανής.
ΔιαγραφήΑν α, β η μικρή και η μεγάλη βάση ενός μικρού πράσινου τραπεζίου και α, γ αντίστοιχα οι βάσεις ενός μεγάλου τραπεζίου, έχουμε:
1. [(α+β)/2]*40=1000
2. [(β+γ)/2]*20=800
3. α+γ=60
Από την επίλυση, έχουμε:
α=15 (το ζητούμενο) β=35, γ=45
Aν x η μικρή βάση του αριστερού τραπεζίου, 60-x η δίπλα της, y η μικρή του δεξιού τραπεζίου, 60- y η δίπλα της, από την ισοδυναμία τους
ΑπάντησηΔιαγραφή0.5(x+60-y)60=0.5(y+60-x)60<=>x=y και από ΠΘ
4500=3600+(60-2x)^2<=>60-2x=30 ή -30<=>x=15 ή 45, με δεκτή το 15 ως μικρή.
Σωστός, αλλά για να βρεις την απόσταση άκρης φράχτη από κορυφή παίρνεις σαν δεδομένο το μήκος του φράχτη, ενώ δεν το χρειάζεσαι..
ΔιαγραφήΟύτε το έχεις υπολογίσει από πριν (το μήκος του φράχτη), όπως δεν το είχα υπολογίσει ούτε εγώ, άρα δεν μπορείς να το πάρεις σαν δεδομένο..😉
Διαγραφή