Ο Άγγελος βλέπει μια ταινία στον κινηματογράφο. Η οθόνη βρίσκεται σε τοίχο κάθετο στο πάτωμα και έχει ύψος $5$ m, με το κάτω άκρο της οθόνης $1,5$ m πάνω από το δάπεδο.
Ο Άγγελος θέλει να βρει ένα κάθισμα που να μεγιστοποιεί την κατακόρυφη γωνία θέασής του (που απεικονίζεται παρακάτω ως $θ$ σε μια δισδιάστατη διατομή). Πόσο πίσω από την οθόνη σε $m$ (μετρημένα κατά μήκος του δαπέδου) πρέπει να κάθεται για να μεγιστοποιήσει την κατακόρυφη γωνία θέασής του;
Έστω x η οριζόντια απόσταση (σε μ) του σημείου θέασης από την οθόνη. Για x=0 η γωνία θέασης θ προφανώς είναι 0 και, για x>0, ισχύει:
ΑπάντησηΔιαγραφήθ(x) = arctan(6,5/x)-arctan(1,5/x)
Με μηδενισμό της α' παραγώγου της θ(x), βρίσκουμε την τιμή x που μεγιστοποιεί τη θ.
Έτσι:
θ'(x)=-6,5/(x^2+6,5^2)+1,5/(x^2+1,5^2) =0 => x= √9,75=3,12..μ
Σωστό Θανάση, ωραίος!😀 Έχω μόνο μία ένσταση: Πως θα βρει την τιμή που μεγιστοποιεί τη θ, ένας μαθητής μικρότερος της Γ Λυκείου;
ΔιαγραφήΤο λέω, γιατί ένας μικρότερος μαθητής δεν ξέρει τον μηδενισμό της α' παραγώγου, για την ακρίβεια δεν ξέρει καν τι πως να παραγωγίζει..
Φαντάζομαι ότι το πρόβλημα απευθύνεται σε έχοντες στοιχειώδεις γνώσεις λογισμού, εκτός κι αν υπάρχει και άλλη προσέγγιση (ιδού πεδίον..). Άλλωστε δεν πρότεινα εγώ το πρόβλημα (είδα και για όσα έχω προτείνει τα αποτελέσματα..🎃). Η όποια ένσταση λοιπόν στο Σωκράτη..😄
Διαγραφή