Τρίτη 24 Ιανουαρίου 2023

Τέλεια τετράγωνα

Αποδείξτε ότι όλοι οι αριθμοί 
$1156, 111556, 11115556, ... $
είναι τέλεια τετράγωνα.
Αναρτήθηκε από στις 24.1.23
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. Στράτος24 Ιανουαρίου 2023 στις 6:46 μ.μ.

    Συμβολίζουμε με Χk τον αριθμό που ξεκινάει με k φορές το ψηφίο 1:

    Χ1=16=1+5∗10^0+10^1
    Χ2=1156=1+5∗10^0+5∗10^1+10^2+10^3
    Χ3=111556=1+5∗10^0+5∗10^1+5∗10^2+10^3+10^4+10^5
    Χk=1+Σ(n=0 έως (k-1)) 5∗10^n + Σ(n=k έως (2k−1) 10^n

    Επειδή Σ(n=k έως (2k−1)10^n = Σ(n=0 έως (2k−1) 10^n - Σ(n=0 έως (k−1) 10^n, και παίρνοντας τον τύπο για το άθροισμα γεωμετρικής σειράς, εχουμε:

    Χk=1+(5*10^k−1)/9 + (10^2k−1)/9 – (10^k−1)/9 =
    1+((4*(10^k)−4+10^2k−1))/9 =
    (10^2k+4*(10^k)+4)/9=
    ((10^k+2)/3)^2, ό.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)