Σάββατο 19 Νοεμβρίου 2022

Ο φίλος μας papadim προτείνει

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ ($\widehat{Α} =90^0$) φέρουμε το ύψος $ΑΘ$ και εξωτερικά των πλευρών του κατασκευάζουμε τα τετράγωνα $ΑΓΖΗ$ και $ΑΒΕΔ$.
Δείξτε ότι οι ευθείες $ΒΖ, ΓΕ, ΑΘ$ συντρέχουν.
Αναρτήθηκε από στις 19.11.22
Ετικέτες

4 σχόλια:

  1. papadim19 Νοεμβρίου 2022 στις 10:29 μ.μ.

    Και εξαιρετική η αναδιατύπωση Σωκράτη, ευχαριστώ!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. michalis zartoulas19 Νοεμβρίου 2022 στις 11:40 μ.μ.

    Από την εκφώνηση είναι απλό ότι οι τριάδες (Β,Α,Η),(Δ,Α,Γ), (Ε,Α,Ζ) είναι τριάδες συνευθειακών σημείων.
    Αν Η η τομή των ΒΖ,ΓΕ, τότε καλούμαστε να αποδείξουμε ότι γ. ΗΑΓ=γ. ΑΒΓ.
    Έχουμε ΑΓ|| ΕΒ και ΓΖ ||ΑΒ. Συνεπώς :
    γ. ΑΓΗ=γ. ΒΕΓ=x
    γ. ΑΒΗ=γ. ΒΖΓ=θ
    γ. ΗΒΓ=ω
    γ. ΒΓΗ=y
    Άρα έχουμε:
    ημx /ημy=BΓ/ΒΕ=ΒΓ/ΑΒ
    ημω/ημθ=ΖΓ/ΒΓ=ΑΓ/ΒΓ
    πολ./σμος κατά μέλη δίνει:
    ημx/ημy *ημω/ημθ=ΑΒ/ΑΓ (1)
    Όμως από τριγωνομετρικό Ceva είναι:
    ημ γ.ΗΑΓ/ημ γ. ΗΑΒ=ημx/ημy *ημω/ημθ (2)
    Συνεπώς από (1),(2) έχουμε:
    ημ γ. ΗΑΓ/ημ γ.ΗΑΒ=ΑΒ/ΑΓ=ημ γ. ΑΒΓ/ ημ γ. ΑΓΒ(3)
    Όμως είναι και γ. ΗΑΓ+γ. ΗΑΒ=γ. ΑΒΓ+γ. ΑΓΒ (4)
    Από (3),(4) έχουμε γ. ΗΑΓ=γ. ΑΒΓ και τέλος.
    Η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Καλό βράδυ.


    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. michalis zartoulas19 Νοεμβρίου 2022 στις 11:43 μ.μ.

    Αυτή τη λύση έχω να προτείνω προς το παρόν. Επιφυλάσσομαι για κομψότερες. Καλό βράδυ και πάμε γερά για την τελετή έναρξης του μουντιάλ αύριο.😉

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. papadim20 Νοεμβρίου 2022 στις 8:04 π.μ.

      Μια και έχουμε ήδη πάρει θέση στην κερκίδα, σαν φίλαθλος της γεωμετρίας αν και όχι ιδισίτερος φαν της τριγωνομετρίας, θέλω να πιστεύω ότι διαιτησία, VAR και φίλαθλο κοινό θα συμφωνήσουν τελικά ότι έβαλες κανονικότατο γκολ, Μιχάλη!! ⚽️🤹‍♂️😊

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)