Τετάρτη 23 Νοεμβρίου 2022

Περίμετρος δωδεκαγώνου

Έστω κανονικό εξάγωνο $ABCDEF$ πλευράς $6$. 
Εξωτερικά  των πλευρών του κατασκευάζουμε τετράγωνα $ABGH$, $BCIJ$, $CDKL$, $DEMN$, $EFOP$ και $FAQR$. 
Να βρεθεί η περίμετρος του δωδεκαγώνου 
$HGJILKNMPORQ$.
Αναρτήθηκε από στις 23.11.22
Ετικέτες , ,

2 σχόλια:

  1. michalis zartoulas23 Νοεμβρίου 2022 στις 3:36 μ.μ.

    Πρόκειται για κανονικό δωδεκάγωνο πλευράς 6.
    Άρα η περίμετρός του είναι 72.
    Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Σκεφτείτε ότι:
    Τα ισοσκελή (με πρώτη ματιά, τελικά ισόπλευρα) τρίγωνα ΗΑQ,BGJ,CIL,DKN,PEM,FRO είναι ίσα.
    Βλέπουμε ότι οι γωνίες HAB,QAF είναι ορθές. Και η γωνία ΒΑF είναι 120 μοίρες ως γωνία κανονικού εξαγώνου. Συνεπώς η γωνία HAQ είναι 60 μοίρες.
    Άρα αποδείξαμε ότι τα προαναφερθέντα τρίγωνα είναι ισόπλευρα. Έτσι, προκύπτει το κανονικό δωδεκάγωνο που είπαμε στην αρχή.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. michalis zartoulas23 Νοεμβρίου 2022 στις 7:56 μ.μ.

    Απόδειξη ότι το κανονικό εξάγωνο έχει γωνία $ \angle BAF=120^\circ $.
    Έχουμε ότι η κεντρική γωνία του κανονικού εξαγώνου ισούται με $ \displaystyle \frac {360^\circ}{6}=60^\circ $. Συνεπώς $ \angle BAF=120^\circ $ και τέλος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)