Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού
$x^2 + bx + c = 0$
με $b + c = 298$.
Αν
$(x – v) (x – u) = x^2 + bx + c$
όπου $u$ και $v$ είναι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης με $u < v$.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της διαφοράς $v – u$.
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Έχουμε u+v=-b άρα u+v=c-298 και uv=c
ΑπάντησηΔιαγραφή(u+v)^2=(c-298)^2 άρα μετά απο πράξεις και συνυπολογίζοντας το γεγονός ότι uv=c έχουμε
u^2+v^2=c^2-598c+88804
αρα (u-v)^2=u^2-2uv+v^2=c^2-600c+88804= c^2-600c+90000-1196=(c-300)^2-1196=
=(b-2)^2-1196
Επειδή (u-v)^2 ειναι ακέραιος αριθμός πρέπει και το (b-2)^2-1196 να ειναι ακέραιος και μάλιστα τέλειο τετράγωνο επειδή το v-u είναι ακέραιος αριθμός.
Άρα (b-2)^2-1196=x^2 άρα (b-2-x)(b-2+x)=1196
Από ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων προκύπτει ότι 1196=2*2*13*23
άρα b-2-x και b-2+x είναι
2 και 598
4 και 299
13 και 92
23 και 52
26 και 46
Απο αυτούς μόνο το ζευγάρι 2 και 598 καθώς και το ζευγάρι 26 και 46 βγάζουνε ακέραιο x.
Άρα b-2-x και b-2+x μπορεί να είναι:
2 και 598 που βγάζει x=298
26 και 46 που βγάζει x=10
Άρα η ελάχιστη διαφορά u-v είναι 10.