Ανισότητα Cauchy - Schwarz - Buniakowskί στα Ολοκληρώματα

Οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι συνεχείς στο $[\alpha ,\beta ]$. Δείξτε ότι ισχύει ανισότητα Cauchy - Schwarz - Buniakowskί

$\mid {\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)g(t)dt\mid \le \sqrt{{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^2(t)d(t){\int }_{\alpha }^{\beta }{g}^2(t)d(t)}$

Απόδειξη 

Για κάθε πραγματικό $\chi$ ισχύει

 $\mid {\int }_{\alpha }^{\beta }(f(t)-\chi g(t){)}^{2}dt\mid \ge 0$

$\iff {\chi }^2{\int }_{\alpha }^{\beta }(g^2(t)dt-2\chi {\int }_{\alpha }^{\beta }(f(t)g(t))dt+{\int }_{\alpha }^{\beta }(f(t{)}^{2}dt\ge 0$

Αυτό είναι δυνατό μόνο αν είναι η διακρίνουσα του τριωνύμου στο αριστερό μέλος αρνητική, δηλαδή αν και μόνο αν

$({\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)g(t)dt{)}^2\le {\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^2(t)d(t).{\int }_{\alpha }^{\beta }{g}^2(t)d(t)$

το οποίο και έπρεπε να αποδειχθεί.

Από το Περιοδικό «Θεαίτητος»