$f(x)-2f'(x)+f''(x)>0$
για κάθε $x$.
Να αποδείξετε ότι
$f(x)>0$
για κάθε $x$.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Aν ν ο βαθμός του f και ν περιττός τότε ν θα είναι και ο βαθμός του f-2f΄+f΄΄. Αν ο μεγιστοβάθμιος όρος είναι αρνητικός τότε το προηγούμενο πολυώνυμο θα παίρνει ετερόσημες τιμές αφού τα όρια στα άπειρα θα είναι +,- άπειρο. Αυτό ως άτοπο λόγω της υπόθεσης δίνει ν άρτιος και αν>0.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ δεδομένη ανισότητα γράφεται (f-f΄)΄-(f-f΄)<0, και πολλ/ντας με e^-x βρίσκουμε ότι η (f-f΄)e^-x γν. φθ. άρα έχει μία το πολύ ρίζα.
Το f-f΄ άρτιου βαθμού ή δεν έχει ρίζες ή έχει άρτιο αριθμό ριζών. Άρα δεν έχει ρίζες και ως συνεχής διατηρεί το πρόσημο, που είναι θετικό λόγω των παραπάνω.
Πολλ/ντας με e^-x καταλήγουμε ότι η f(x)e^-x είναι γν. φθ. άρα έχει μία το πολύ ρίζα. Αλλά το f ως ν βαθμού έχει άρτιας πολλαπλότητας ρίζες αν δεν είναι αδύνατο. Άρα f(x)>0.