Δευτέρα 29 Αυγούστου 2022

Θετικές τιμές

Έστω $f(x)$ πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές τέτοιο ώστε
$f(x)-2f'(x)+f''(x)>0$
για κάθε $x$.
Να αποδείξετε ότι 
$f(x)>0$ 
για κάθε $x$.
Αναρτήθηκε από στις 29.8.22
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. kfd30 Αυγούστου 2022 στις 11:32 μ.μ.

    Aν ν ο βαθμός του f και ν περιττός τότε ν θα είναι και ο βαθμός του f-2f΄+f΄΄. Αν ο μεγιστοβάθμιος όρος είναι αρνητικός τότε το προηγούμενο πολυώνυμο θα παίρνει ετερόσημες τιμές αφού τα όρια στα άπειρα θα είναι +,- άπειρο. Αυτό ως άτοπο λόγω της υπόθεσης δίνει ν άρτιος και αν>0.
    Η δεδομένη ανισότητα γράφεται (f-f΄)΄-(f-f΄)<0, και πολλ/ντας με e^-x βρίσκουμε ότι η (f-f΄)e^-x γν. φθ. άρα έχει μία το πολύ ρίζα.
    Το f-f΄ άρτιου βαθμού ή δεν έχει ρίζες ή έχει άρτιο αριθμό ριζών. Άρα δεν έχει ρίζες και ως συνεχής διατηρεί το πρόσημο, που είναι θετικό λόγω των παραπάνω.
    Πολλ/ντας με e^-x καταλήγουμε ότι η f(x)e^-x είναι γν. φθ. άρα έχει μία το πολύ ρίζα. Αλλά το f ως ν βαθμού έχει άρτιας πολλαπλότητας ρίζες αν δεν είναι αδύνατο. Άρα f(x)>0.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)