H f(x) αντιστρέφεται γιατί f'(x)= 5x^4 +6x^2+2 > 0 για κάθε x πραγματικό, συνεπώς είναι γνησίως αύξουσα και 1-1. Έστω y= f^(-1) (x) η αντίστροφη συνάρτηση της f(x). Έχουμε: y^5 +2y^3+2y=x και συνεπάγεται 5y^4 y' + 6y^2 y' + 2y'=1 ισοδύναμα y'= 1/(5y^4 +6y^2 +2) (1) όπου y= f^(-1) (x). Άρα για να βρούμε το y'(-5) από τον παραπάνω τύπο θα πρέπει να υπολογίσουμε το y= f^(-1) (-5). Αρκεί να βρούμε τη μοναδική λύση της εξίσωσης x^5 +2x^3 +2x=-5 (2) και είναι μοναδική γιατί η f(x) είναι 1-1 (γιατί αλλιώς δεν θα υπήρχε αντίστροφη). Η προφανής λύση της εξίσωσης (2) είναι x= -1 και συνεπώς y=f^(-1) (-5)=-1. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (1) έχουμε : y'(-5)= 1/( 5(-1)^4 +6(-1)^2+2) = 1/(5+6+2) = 1/13
H f(x) αντιστρέφεται γιατί f'(x)= 5x^4 +6x^2+2 > 0 για κάθε x πραγματικό, συνεπώς είναι γνησίως αύξουσα και 1-1.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω y= f^(-1) (x) η αντίστροφη συνάρτηση της f(x).
Έχουμε: y^5 +2y^3+2y=x και συνεπάγεται 5y^4 y' + 6y^2 y' + 2y'=1 ισοδύναμα y'= 1/(5y^4 +6y^2 +2) (1)
όπου
y= f^(-1) (x).
Άρα για να βρούμε το y'(-5) από τον παραπάνω τύπο θα πρέπει να υπολογίσουμε το y= f^(-1) (-5).
Αρκεί να βρούμε τη μοναδική λύση της εξίσωσης
x^5 +2x^3 +2x=-5 (2)
και είναι μοναδική γιατί η f(x) είναι 1-1 (γιατί αλλιώς δεν θα υπήρχε αντίστροφη).
Η προφανής λύση της εξίσωσης (2) είναι x= -1 και συνεπώς y=f^(-1) (-5)=-1.
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (1) έχουμε :
y'(-5)= 1/( 5(-1)^4 +6(-1)^2+2) = 1/(5+6+2) = 1/13