A' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2022

Πρόβλημα 1: 

Να βρείτε όλα τα ζευγάρια πραγματικών αριθμών για τα οποία


Πρόβλημα 2: 

Δίνονται θετικοί ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ισχύει ότι

(α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά είναι τέλειο τετράγωνο κάποιου θετικού ακεραίου.
(β) Να βρείτε ένα ζευγάρι θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει η παραπάνω σχέση.

Πρόβλημα 3: 

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του με κέντρο . Ονομάζουμε το μέσο του . Η προέκταση της τέμνει ξανά τον κύκλο στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στα σημεία και και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στα σημεία και .

Αν το ίχνος της κάθετης από το πάνω στην και το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας με τον , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία και είναι παραλληλόγραμμο.

Πρόβλημα 4: 

Δίνονται θετικοί ακέραιοι αριθμοί  με  και μια σκακιέρα  από την οποία έχει αφαιρεθεί το άνω αριστερά  κομμάτι της. Ένα παράδειγμα τέτοιας σκακιέρας για  και  φαίνεται παρακάτω.

Να εξεταστεί για ποια ζεύγη η συγκεκριμένη σκακιέρα μπορεί να καλυφθεί με πλακίδια της μορφής . Κάθε πλακίδιο μπορεί να τοποθετηθεί οριζόντια ή κάθετα ώστε να καλύπτει ακριβώς τρία τετραγωνάκια της σκακιέρας. Τα πλακίδια δεν επιτρέπεται να αλληλοκαλύπτονται και δεν επιτρέπεται να καλύπτουν τετράγωνα εκτός της σκακιέρας.

Πηγή: mathematica