Challenging Recreational Mathematics: Δευτέρου βαθμού πολυώνυμο

Κυριακή 16 Ιανουαρίου 2022

Το δευτέρου βαθμού πολυώνυμο $𝑓(𝑥)$ έχει ρίζα το $2$.

Αν τo πολυώνυμο

$g(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥))$

έχει μοναδική πραγματική ρίζα τo $5$, να βρείτε το $𝑓(𝑥)$.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 2021

vimarkoulis@gmail.com22 Ιανουαρίου 2022 στις 8:48 μ.μ.
Έστω 2 και ρ οι δύο ρίζες του f(x). g(5)=f(f(5))=0, άρα f(5)=2 ή f(5)=ρ. Αν υπάρχει xο τέτοιο ώστε f(x)=2 ή f(x)=ρ με xο διάφορο του 5 τότε g(xo)=f(f(xo))=0, άτοπο, αφού το g(x) έχει μόνο 1 ρίζα. Επομένως το 5 είναι σημείο ακροτάτου και άρα (ρ+2)/2=5, άρα ρ=8. f(5)=2>0 ή f(5)=8>0 , τοπικό μέγιστο (αν ήταν τοπικό ελάχιστο το f(x) δε θα είχε ρίζες). Αν f(x)=ax^2 + bx + c, τότε -b/2a=5 , 4a+2b+c=0 και (4ac-b^2)/4a=2 ή 8. b=-10a, c=16a και a=-2/9 ή α=-8/9.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις