Ορίζουμε τη συνάρτηση φ(u)=f(tan(u)), uE[0,π/4]. Η φ(u) είναι συνεχής στο [0,π/4] και παραγωγίσιμη στο (0,π/4), άρα από ΘΜΤ υπάρχει uoE(0,π/4): φ'(uo)=(φ(π/4)-φ(0))/(π/4 - 0) . Επομένως (1/cos^2(uo))f'(tan(uo))=4(f(1)-f(0))/π , δηλαδή (1+tan^2(uo))f'(tan(uo))=4(f(1)-f(0))/π . Αν 0<uo<π/4, τότε 0<tan(uo)<1 και θέτοντας x=tan(uo), έχουμε (1+x^2)f'(x)=(4/π)(f(1)-f(0)) με 0<x<π/4 .
Ορίζουμε τη συνάρτηση φ(u)=f(tan(u)), uE[0,π/4]. Η φ(u) είναι συνεχής στο [0,π/4] και παραγωγίσιμη στο (0,π/4), άρα από ΘΜΤ υπάρχει uoE(0,π/4): φ'(uo)=(φ(π/4)-φ(0))/(π/4 - 0) . Επομένως (1/cos^2(uo))f'(tan(uo))=4(f(1)-f(0))/π , δηλαδή (1+tan^2(uo))f'(tan(uo))=4(f(1)-f(0))/π .
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν 0<uo<π/4, τότε 0<tan(uo)<1 και θέτοντας x=tan(uo), έχουμε (1+x^2)f'(x)=(4/π)(f(1)-f(0)) με 0<x<π/4 .