Παρασκευή 10 Δεκεμβρίου 2021

How To Calculate Cube Roots In Your Head

Αναρτήθηκε από στις 10.12.21
Ετικέτες

2 σχόλια:

  1. vimarkoulis@gmail.com12 Δεκεμβρίου 2021 στις 9:49 μ.μ.

    Υπάρχει ο παρακάτω τρόπος υπολογισμού τετραγωνικών ριζών που χρησιμοποιούσε ο Ήρωνας (και ενδεχομένως ο Αρχιμήδης)και επεκτείνεται και σε μεγαλύτερης τάξης ρίζες: έστω n θετικός πραγματικός αριθμός, ορίζουμε την ακολουθία : 00,άρα a2>√n.Ομοίως αν an<√n, τότε an+1>√n,an+2<√nκ.ο.κ. Επίσης θα δείξουμε ότι οι περιττοί όροι σχηματίζουν αύξουσα και άνω φραγμένη ακολουθία και οι άρτιοι όροι φθίνουσα και κάτω φραγμένη ακολουθία. Οι περιττοί όροι σχηματίζουν την ακολουθία bn=a2n+1<√n , bn√n.Επομένως και οι δύο ακολουθίες συγκλίνουν, έστω η bn στο Β≤√n και η dn στο D≥√n.Παίρνοντας όρια στην εξίσωση bn - dn=a2n+1 - a2n=a2n + n/a2n οδηγούμαστε στην εξίσωση (D-√n)^2 + 2D(√n-B)=0,από όπου προκύπτει ότι B=D=√n.Άρα και η αρχική ακολουθία an συγκλίνει στο √n.Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και κάθε ακολουθία an+1=(an + n/an^(m-1))/2 συγκλίνει στη m-ιοστή ρίζα του n.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. vimarkoulis@gmail.com12 Δεκεμβρίου 2021 στις 10:14 μ.μ.

    Η ακολουθία που ορίστηκε παραπάνω είναι η an+1=(an + n/an)/2 και χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε a1<√n,οπότε a2=(a1 + n/a1)/2,άρα (a1-a2)^2 + n-(a2)^2=0,άρα a2>√n. Για την bn ισχύει bn+1>bn,αφού από την ανίσωση a2n+3=(a2n+2 + n/a2n+2)/2=(a2n+1 + n/a2n+1)/4 + n/(a2n+1 + n/a2n+1)>a2n+1 οδηγούμαστε με ισοδυναμίες στην ανίσωση (3(a2n+1)^2 + n)((a2n+1)^2 - n)<0 που ισχύει, αφού a2n+1<√n. Ομοίως ορίζεται η ακολουθία dn=a2n,που αποδεικνύεται ότι dn+1<dn.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)