Σάββατο 4 Δεκεμβρίου 2021

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 9

Αναρτήθηκε από στις 4.12.21
Ετικέτες

4 σχόλια:

  1. vimarkoulis@gmail.com13 Δεκεμβρίου 2021 στις 9:23 μ.μ.

    Τι συμβολίζει το F ; Ευχαριστώ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης14 Δεκεμβρίου 2021 στις 9:36 π.μ.

    Λάθος, το σωστό είναι Ε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. vimarkoulis@gmail.com22 Δεκεμβρίου 2021 στις 4:58 μ.μ.

    ma^2=(b^2 + c^2)/2 - (a^2)/4, mb^2=(c^2 + a^2)/2 - (b^2)/4, mc^2=(a^2 + b^2)/2 - (c^2)/4. cotA=cosA/sinA (sinA>0,αφού 00 ,αφού 00 από τριγωνική ανισότητα) και τη χρήση της ανισότητας AM-GM), αρκεί να δείξουμε ότι Σcyc(2b^2 + 2c^2 - a^2)(a+b-c)(c+a-b)≤81(a^2)(b^2)(c^2). Με ισοδυναμίες καταλήγουμε στην ανισότητα:(5/2)Σcyc((a+b)^2 - c^2)((b-c)^4+(a-c)^4) + (5/2)Σcyc(a-b)^6 + 36Σcyc(ab(a-b)^4 + 89Σcyc(a^2)(b^2)(a-b)^2 + 13Σcyc(a^2)bc(a-b)^2 + (15/2)Σcyc(a^2)(b^2)((a-c)^2 + (b-c)^2) + (8Σcyc(a^3)(b^2)c - 48(a^2)(b^2)(c^2)≥0, που ισχύει λόγω της τριγωνικής ανισότητας και 8Σcyc(a^3)(b^2)c≥48(a^2)(b^2)(c^2) από ανισότητα AM-GM.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. vimarkoulis@gmail.com23 Δεκεμβρίου 2021 στις 12:08 μ.μ.

    Δεν εμφανίστηκε το εξής τμήμα της ανάρτησης: cotA=((cot(A/2))^2 - 1)/2cot(A/2) και θέτοντας x=cot(A/2) παίρνουμε την εξίσωση x^2 - 2(cotA)x - 1=0 όπου δεχόμαστε μόνο τη θετική λύση x=cot(Α/2)=(a+b+c)(b+c-a)/4E(αφού 0<Α/2<π ).Ομοίως, cot(B/2)=(a+b+c)(c+a-b)/4E, cot(C/2)=(a+b+c Επίσης R=abc/4E, r=2E/(a+b+c), E=(√((a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)))/4. Με αντικατάσταση στην αρχική ανισότητα και θέτοντας Χ=abc, Y=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b), αρκεί να δείξουμε (Υ^2)Σcyc(2b^2 + 2c^2 - a^2)(a+b+c)^2(a+b-c)(c+a-b)≤128X^4 - 32(X^3)Y - 14(X^2)(Y^2) - X(Y^3)=81X^4 + 32(X^3)(X-Y) + 14(X^2)(X^2 - Y^2) + X(X^3 - Y^3).Αλλά Χ≥Υ(Padoa's inequality) (αποδεικνύεται με την αντικατάσταση x=a+b-c, y=b+c-a, z=c+a-b και τη χρήση της ανισότητας AM-GM).Επομένως αρκεί να δείξουμε Σcyc(2b^2 + 2c^2 - a^2)(a+b+c)^2(a+b-c)(c+a-b)≤81(a^2)(b^2)(c^2).(στην προηγούμενη ανάρτηση λείπει ο παράγοντας (a+b+c)^2).

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)