Τετάρτη 22 Δεκεμβρίου 2021

Μέγιστη τιμή

Έστω συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει 
$f''(x) = f^2 (x) − f^5(x)$. 
Αν $f'(0) = 7$ και $f(0) = 2$, να βρεθεί η μέγιστη τιμή της
$|f' (x)|$.
Αναρτήθηκε από στις 22.12.21
Ετικέτες

3 σχόλια:

  1. vimarkoulis@gmail.com23 Δεκεμβρίου 2021 στις 9:00 μ.μ.

    2f'(x)f"(x)=2f'(x)f(x)^2 - 2f'(x)f(x)^5.Άρα (f'(x)^2)'=(2/3(f(x)^3)-2/6(f(x)^6))',επομένως f'(x)^2=2/3(f(x)^3)-2/6(f(x)^6)+a και αφού f'(0)=7 και f(0)=2, a=65. Τελικά f'(x)^2=-1/3(f(x)^3 - 1)^2 + 196/3≤196/3, άρα ▐f'(x)▐≤14√3/3. Αν υπάρχει xo:f(xo)=1, τότε η μέγιστη τιμή της ▐f'(x)▐max=▐f'(xo)▐=14√3/3. f"(x)=f(x)^2 - f(x)^5=f(x)^2(1-f(x)^3), επομένως f"(x) συνεχής ως άθροισμα συνεχών (η f(x) είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη).Αν f"(x) διάφορη του 0 για κάθε xEIR, τότε διατηρεί πρόσημο και αφού f"(0)=-28<0, f"(x)<0 για κάθε xΕΙR. Επομένως f'(x)≥7 για κάθε x≤0. Από το θεώρημα μέσης τιμής:(f(0)-f(-1))/(0-(-1))=2-f(-1)≥7,
    άρα f(-1)≤-5<0. Από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει xoE(-1,0) με f(xo)=1. Αν υπάρχει x1:f"(x1)=0, τότε f(x1)=0 ή f(x1)=1 και αν f(x1)=0, υπάρχει x2 E(0,x1) ή (x1,0) με f(x2)=1. Επομένως σε οποιαδήποτε περίπτωση υπάρχει x με f(x)=1.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης25 Δεκεμβρίου 2021 στις 10:46 μ.μ.

    Θαυμάζω την σκέψη σας!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. vimarkoulis@gmail.com26 Δεκεμβρίου 2021 στις 12:14 μ.μ.

    Σας ευχαριστώ πολύ! Συνεχίστε να προσφέρετε ερεθίσματα για να καλλιεργούμε τη σκέψη μας. Καλές Γιορτές και καλή χρονιά με υγεία!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)