Παρασκευή 26 Νοεμβρίου 2021

Problem A1, Putnam 1993

The horizontal line $y = c$ intersects the curve $y = 2x−3x^3$ in the first quadrant as in the figure. Find, with proof, c so that the areas of the two shaded regions are equal.
Αναρτήθηκε από στις 26.11.21

1 σχόλιο:

  1. papadim26 Νοεμβρίου 2021 στις 10:21 μ.μ.

    Αν η ευθεία τέμνει την καμπύλη σε σημεία με τετμημένες α και β, με 0<α<β, η πρώτη σκιασμένη περιοχή είναι το ολοκλήρωμα της c-(2x-3x^3), για x από 0 έως α, ενώ η δεύτερη το ολοκλήρωμα της 2x-3x^3-c, για x από α έως β. Για να είναι ίσες οι δύο περιοχές, δεδομένου ότι οι δύο παραπάνω συναρτήσεις είναι αντίθετες, πρέπει το ολοκλήρωμα της 2x-3x^3-c, για x από 0 έως β να μηδενίζεται. Πρέπει δηλαδή να είναι:
    β^2-3β^4/4-cβ=0 ⇒ c=β-3β^3/4
    και ταυτόχρονα:
    c=2β-3β^3
    Από την επίλυση του συστήματος, μόνη αποδεκτή λύση προκύπτει η β=2/3, c=4/9

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)