Challenging Recreational Mathematics: Geometry problems proposed by George Apostolopoulos

Σάββατο 6 Νοεμβρίου 2021

vimarkoulis@gmail.com14 Νοεμβρίου 2021 στις 11:50 π.μ.
Σcyc(x(3-x)((x^3 + 1)/(x^2 + 1))^4=Σcyc(x(y+z)((x^3 + 1)/(x^2 + 1))^4≥3cuberoot(xyz(x+y)(y+z)(z+x)Πcyc((x^3 + 1)/(x^2 + 1))^4, με εφαρμογή της ανισότητας AM-GM. (x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz,πάλι με εφαρμογή της AM-GM. Επίσης ισχύει : Πcyc((x^3 + 1)/(x^2 + 1))≥√(√(xyz)) (με πολλαπλασιαστές Lagrange για τη συνάρτηση f(x,y,z)=Πcyc((x^3 + 1)/(x^2 + 1))-√(√(xyz)) στο συμπαγές σύνολο Σ=(x,y,z≥0 , x+y+z=3 ), όπου το μοναδικό εσωτερικό σημείο(ως προς τη σχετική τοπολογία) που ισχύει η συνθήκη Lagrange είναι το (x,y,z)=(1,1,1),ενώ στο σύνορο(πάλι ως προς τη σχετική τοπολογία),που είναι το σύνολο (x=0 ή y=0 ή z=0), f(x,y,z)>0. Άρα στο (x,y,z)=(1,1,1) η f(x,y,z) παρουσιάζει ελάχιστο το 0.).Επομένως 3cuberoot(xyz(x+y)(y+z)(z+x)Πcyc((x^3 + 1)/(x^2 + 1))^4≥3cuberoot((xyz)(8xyz)(xyz))=6xyz=6Πcyc(x).
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις