Πέμπτη 25 Νοεμβρίου 2021

$AE \perp CG$

Οι πλευρές δύο τετραγώνων (όχι απαραίτητα ίσων) τέμνονται σε οκτώ σημεία: A, B, C, D, E, F, G και H. 
Αυτά τα οκτώ σημεία σχηματίζουν ένα οκτάγωνο, όπως φαίνεται στο πιο πάνω σχήμα. Να αποδειχθεί ότι  οι διαγώνιοι AE και CG είναι κάθετες.
Αναρτήθηκε από στις 25.11.21
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. papadim26 Νοεμβρίου 2021 στις 4:34 μ.μ.

    Μπορούμε να σκεφτούμε ότι αν ένα τετράγωνο περιστραφεί κατά 90° γύρω από το κέντρο του, η νέα του θέση ταυτίζεται με την αρχική, ενώ αν περιστραφεί κατά 90° γύρω από οποιοδήποτε άλλο σημείο, η νέα του θέση μετατοπίζεται μεν αλλά παραμένει παράλληλη ως προς την αρχική.

    Στο οκτάγωνο ABCDEFGH, οι πλευρές AB,CD,EF,GH είναι τμήματα των πλευρών του ενός τετραγώνου, ενώ οι πλευρές BC,DE,FG,HA είναι τμήματα των πλευρών του άλλου τετραγώνου.

    Έτσι, αν περιστρέψουμε ολόκληρο το σχήμα κατά 90° γύρω από το κέντρο του πρώτου τετραγώνου, τότε οι νέες θέσεις των πλευρών AB,CD,EF,GH του οκταγώνου θα συνεχίσουν να είναι τμήματα πλευρών του ίδιου τετραγώνου (πλευρών κάθετων προς τις αντίστοιχες αρχικές), ενώ οι νέες πλευρές BC,DE,FG,HA του οκταγώνου θα βρεθούν σε θέσεις κάθετες προς τις αντίστοιχες αρχικές.

    Έτσι, οι νέες πλευρές BC, FG θα είναι παράλληλες μεταξύ τους και παράλληλες με τις αρχικές πλευρές DE, HA και το τετράπλευρο με κορυφές τα νέα σημεία C, G και τα αρχικά E,A θα είναι παραλληλόγραμμο (νέα CG//αρχική EA). Αφού όμως η νέα CG είναι κάθετη στην αρχική (λόγω περιστροφής της αρχικής εικόνας κατά 90°), έπεται ότι η αρχική CG είναι κάθετη στην αρχική ΕΑ (ό.έ.δ.)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)