Τρίτη 5 Οκτωβρίου 2021

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 2

Αναρτήθηκε από στις 5.10.21
Ετικέτες

3 σχόλια:

  1. vimarkoulis@gmail.com30 Οκτωβρίου 2021 στις 12:00 π.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. vimarkoulis@gmail.com30 Οκτωβρίου 2021 στις 3:38 μ.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. vimarkoulis@gmail.com8 Νοεμβρίου 2021 στις 11:51 π.μ.

    Τα EF,FD,DE υπολογίζονται με το νόμο των συνημιτόνων από τα τρίγωνα AFE,BDF,DCE αντίστοιχα(AF=bc/(a+b) , AE=bc/(a+c) , BD=ac/(b+c) , BF=ac/(a+b) , EC=ab/(a+c) , CD=ab/(b+c) , cosA=(b^2 + c^2 - a^2)/2bc , cosB=(c^2 + a^2 - b^2)/2ca , cosC=(a^2 + b^2 - c^2)/2ab ).Cauchy-Schwarz 2 φορές: √(EF/ha) + √(FD/hb) + √(DE/hc) ≤ √3√((EF/ha) + (FD/hb) + (DE/hc)) ≤ √(3√3)√(√((EF/ha)^2 + (FD/hb)^2 + (DE/hc)^2),όπου ha=bc/2R, hb=ac/2R, hc=ab/2R.Αποδεικνύεται ότι : (EF/ha)^2 + FD/hb)^2 + DE/hc)^2 ≤ (a+b+c)/4((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)) ≤ (a^2)(b^2)(c^2)(a+b+c)/4(((a+b-c)^3)((b+c-a)^3)((c+a-b)^3))=R^2/64r^4( Η απόδειξη της πρώτης ανισότητας είναι αλγεβρική και εργώδης και καταλήγει με ισοδυναμίες στην ανισοταυτότητα : Σcyc(4(a^3)((a^2 - b^2)^2 + (c^2 - a^2)^2)) + Σcyc(((a^3(b^2)+(a^2)(b^3))(a-b)^2) + Σcyc((a^2)(b^2)c(a-b)^2) + Σcyc(17abc(a^2 - b^2)^2) + Σcyc((a^3)bc(b-c)^2) ≥ 0 . Η δεύτερη ανισότητα προκύπτει με τη χρήση της ανισοταυτότητας Πcyc(a+b-c)≤abc ( Padoa's inequality ). Άρα √(3√3)√(2R√((R^2)/64r^4)=√(√27) R/2r.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)