Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 1η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re }$ τέτοια, ώστε

$f(2x-1)=-2x+4(1-e^{2x})$

α) Να δείξετε ότι

$f(x)=3-x-4e^{x+1}$

β) Να βρείτε τη μονοτονία της $f$ , τις ρίζες της και το πρόσημο της.

γ) Να λύσετε την εξίσωση

$(3-x)e^{-x-1}=4$

δ) Να λύσετε την ανίσωση

$2x-x^2+4e^{2x-x^2+1}>3-2x+4e^{4-2x}$

ε) Να δείξετε ότι

$(x^2+4)+4e^{x^2+5}\ge 4x+4e^{4x+1}$