Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών)
Δίνεται η συνάρτηση $f: \Re \rightarrow \Re$ τέτοια, ώστε
$f(2x - 1) = - 2x + 4(1 - e^{2x})$
α) Να δείξετε ότι
$f(x) = 3 - x - 4e^{x+1}$
β) Να βρείτε τη μονοτονία της $f$ , τις ρίζες της και το πρόσημο της.
γ) Να λύσετε την εξίσωση
$(3 - x)e^{ - x -1}=4$
δ) Να λύσετε την ανίσωση
$2x - x^2 + 4e^{ 2x -x^2 +1}> 3 - 2x + 4e^{ 4 - 2x} $
ε) Να δείξετε ότι
$(x^2 + 4) + 4e^{ x^2 +5} \geq 4x + 4e^{4x + 1} $
α) Θέτουμε στον τύπο f(2x-1) όπου u= 2x-1, κάνουμε τις πράξεις και βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης ως f(u)
ΑπάντησηΔιαγραφήμε u να παίρνει τιμές στο R.
β) Η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το R, έχει μοναδική ρίζα για x=-1, και παίρνει θετικές τιμές για
x<-1 και αρνητικές τιμές για x>-1.
γ) Μια μοναδική λύση για x=-1.
δ) το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι: (1,3)
ε) Λύνουμε την ανίσωση x^2 +5-1 >= 4x ισοδύναμα
x^2-4x+4 >=0 ισοδύναμα (x-2)^2 >= 0 που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό και η ισότητα ισχύει για x=2
Συνεπώς επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα και άρα 1-1 έχουμε:
Για κάθε x ανήκει στο R ισχύει x^2+5-1 >= 4x ισοδύναμα f(x^2+5-1) =< f(4x)..... καταλήγουμε στην ανισότητα της εκφώνησης
Συνεπώς η ανισότητα της εκφώνησης ισχύει για κάθε πραγματικό x.